パスカルの三角形計算機 - 二項係数を生成

パスカルの三角形は、数学で最も有名な構造の一つです。これは三角形状に並んだ数の表で、各要素は直前の行の真上にある 2 つの要素の和になっています。三角形は頂点の 1（第 0 行）から始まり、その後の各行は隣接する 2 数を足して作られます。第 1 行は [1, 1]、第 2 行は [1, 2, 1]、第 3 行は [1, 3, 3, 1]、第 4 行は [1, 4, 6, 4, 1] です。 三角形の各項は二項係数で、C(n, k) または「n choose k」と書き、n! / (k! × (n−k)!) で定義されます。第 n 行の k 番目の項（0 から数える）は C(n, k) に等しく、順序を無視して n 個から k 個を選ぶ方法数を表します。組合せ論とのこの関係により、パスカルの三角形は組合せ数を調べる компактな表であり、確率論の基本的な道具でもあります。 代数では、二項定理により (a + b)ⁿ = Σ C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ（k は 0 から n）と表されます。この展開係数はまさにパスカルの三角形の第 n 行の要素です。(x + 1)⁵ を展開すると係数 1、5、10、10、5、1 が得られ、これはちょうど第 5 行です。したがって、パスカルの三角形は多項式展開や二項分布の確率計算に欠かせない近道になります。 この三角形には驚くほど多くの隠れた規則があります。浅い対角線の和はフィボナッチ数列になります。各行は 11 のべき乗も与え、第 0 行は 1、第 1 行は 11、第 2 行は 121、第 3 行は 1331、第 4 行は 14641 です。ホッケースティック恒等式では、ある対角線上の数の和はその対角線の終点の 1 つ下の項に等しくなります。奇数と偶数を色分けすると、シェルピンスキー三角形として知られるフラクタル模様が現れます。 純粋数学以外でも、パスカルの三角形は確率論（二項分布・負の二項分布）、組合せ論（格子経路、部分集合、重複組合せ）、数論（素数行で端以外の項が行番号で割り切れる性質）、計算機科学（組合せの動的計画法）、金融数学（二項オプション価格モデル）に現れます。この計算機では最大 20 行を即座に生成し、任意の特定の行を強調表示し、三角形表示と直線表示を切り替えながら、必要な粒度で構造を調べられます。