二進数掛け算計算機

二進数の掛け算は十進数の筆算と同じ桁位置の考え方に従いますが、1桁ごとの規則ははるかに単純です。十進数では各桁が 0–9 のいずれかになり、10×10 の九九を覚える必要があります。二進数では各桁は 0 または 1 だけなので、規則は 0 × 0 = 0、0 × 1 = 0、1 × 0 = 0、1 × 1 = 1 のみです。難しさは個々のビットを掛けることではなく、部分積を正しくシフトして足し合わせることにあります。 二進数の筆算は次のように進みます。2つの数を上下に書き、一方を被乗数、もう一方を乗数とします。乗数の右端（最下位）ビットから始めて、各ビットに対して部分積を作ります。乗数ビットが 1 の場合、部分積は被乗数をそのビット位置だけ左にシフトしたものです。ビットが 0 の場合、部分積はすべて 0 です。すべての部分積を二進加算で合計し、必要に応じて桁上がりを伝播させます。最終的な和が二進数の積です。 たとえば 1011 に 101 を掛ける場合、101 の右端ビットは 1 なので、最初の部分積は 1011（0 桁シフト）です。中央のビットは 0 なので、1 桁シフトした 0000（文脈上は実質 00000）になります。左端ビットは 1 なので、3つ目の部分積は 1011 を 2 桁シフトした 101100 です。1011 + 0000 + 101100 = 110111 となり、これは十進数で 55、つまり 11 × 5 = 55 であることを確認できます。 二進数の掛け算はハードウェアに直接対応します。シフト加算アルゴリズムは、すべての CPU の整数乗算ユニットや FPGA、カスタム ASIC に実装されています。現代のプロセッサは Booth のアルゴリズム、Wallace 木、Dadda 乗算器などの最適化手法を使い、部分積の数を減らして最終加算を高速化します。基本的なシフト加算の仕組みを理解すると、ソフトウェアエンジニアは性能、オーバーフロー、そしてコンピューティングにおけるすべての整数演算を支える二進表現について考えやすくなります。 オーバーフローは重要な注意点です。両方のオペランドが n ビット整数の場合、積には最大 2n ビットが必要になることがあります。32 ビット × 32 ビットの乗算は 64 ビットの結果を生成する可能性があり、ハードウェアの乗算命令が積の上位半分と下位半分を別々に提供することが多いのはまさにこのためです。この計算機は任意長の二進整数に対応し、切り捨てずに完全な積を表示します。