二項係数計算機
C(n, k)、つまり n 個から k 個を選ぶ方法の数を、組合せ論・確率・パスカルの三角形向けに計算します。
n（全体の個数）と k（選ぶ個数）を入力し、計算をクリックすると、正確な二項係数とその公式が得られます。
二項係数計算機
C(n, k)、つまり n 個から k 個を選ぶ方法の数を、組合せ論・確率・パスカルの三角形向けに計算します。
二項係数計算機について
二項係数 C(n, k) は「n choose k」や記号 ⁿCₖ とも書かれ、選ぶ順序を考えないとき、n 個の異なる要素からちょうど k 個を選ぶ方法の数を表します。組合せ論の基本量であり、確率論、代数、統計、コンピューターサイエンスにも広く現れます。
公式は C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) です。感嘆符は階乗を表し、n! = n × (n−1) × (n−2) × ⋯ × 2 × 1、慣例として 0! = 1 です。たとえば C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10 なので、5 個から 2 個を選ぶ方法は 10 通りです。
二項係数はパスカルの三角形の各項でもあります。各数はその真上の 2 つの数の和で、0 から数えると n 行 k 列の項が C(n, k) です。これはパスカルの恒等式 C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k) に従います。ある要素を選ぶ場合は n−1 個から k−1 個、選ばない場合は n−1 個から k 個を選ぶ問題になるためです。
「二項係数」という名前は二項定理に由来します。(x + y)ⁿ = Σ C(n, k) × xᵏ × y^(n−k)（k は 0 から n）で、展開式の各項 xᵏ y^(n−k) の係数が C(n, k) です。たとえば (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ で、係数 1、3、3、1 は C(3,0)、C(3,1)、C(3,2)、C(3,3) です。
確率では、二項係数は二項分布に現れます。これは成功確率 p の独立した n 回のベルヌーイ試行で成功回数をモデル化する分布です。ちょうど k 回成功する確率は C(n, k) × p^k × (1−p)^(n−k) です。ポーカーの手札、宝くじ、委員会の選出、1 の個数が固定された二進文字列などの数え上げ問題は、二項係数の計算に直結します。
n と k が大きい場合、階乗を直接計算すると整数オーバーフローが起こりやすくなります。効率的なアルゴリズムでは、C(n, k) = ∏ (n − i) / (i + 1)（i は 0 から k−1）という乗法公式で反復計算し、中間値を小さく保ちます。この計算機は正確な整数演算で実用的な入力に対して精密な結果を返します。
二項係数の例
C(n, k) が可能な結果数を表す実例です。
| C(n, k) | 結果 | 現実での意味 |
|---|---|---|
| C(5, 2) | 10 | 5 個から 2 個を選ぶ方法の数。例：5 人のグループから作るペア。 |
| C(52, 5) | 2,598,960 | 標準的な 52 枚のデッキから作れる 5 枚ポーカーの手札数。 |
| C(8, 3) | 56 | パスカルの三角形の 8 行 3 列の値。また 8 要素集合の 3 要素部分集合の数。 |
| C(12, 4) | 495 | 12 人の候補者から 4 人のチームを選ぶ方法の数。順序は関係ありません。 |
二項係数計算機の使い方
- n（集合内の全要素数）を入力します。n は 0 以上の整数です。
- k（選ぶ要素数）を入力します。k は 0 以上 n 以下です。
- 「C(n, k) を計算」をクリックします。正確な二項係数と展開された公式が表示されます。
- リセットをクリックすると両方の入力欄が消え、別の値を入力できます。
二項係数 FAQ
C(n, k) は何を意味しますか？
C(n, k) は、順序を区別しないときに n 個の異なる要素から k 個を選ぶ方法の数です。二項係数、「n choose k」、組合せとも呼ばれます。たとえば C(6, 2) = 15 で、6 個から作れる異なるペアは 15 通りです。
組合せと順列の違いは何ですか？
組合せでは選んだ要素の順序を考えません。{A, B} は {B, A} と同じで、数は C(n, k) = n! / (k! (n−k)!) です。順列では順序を考え、A の後に B を選ぶ場合と B の後に A を選ぶ場合は異なります。数は P(n, k) = n! / (n−k)!、関係は P(n, k) = k! × C(n, k) です。
なぜ C(n, 0) = 1、C(n, n) = 1 なのですか？
C(n, 0) は n 個から 0 個を選ぶ方法の数で、何もしない方法が 1 つだけあるため 1 です。C(n, n) はすべての n 個を選ぶ方法の数で、すべて取る方法も 1 つだけです。階乗公式でも n!/(0! × n!) = 1、n!/(n! × 0!) = 1 となります。
二項係数はパスカルの三角形とどう関係しますか？
パスカルの三角形は、各項が真上の 2 項の和になる三角形配列です。0 行 0 列から数えると、n 行 k 列の項が C(n, k) です。これは C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k) によります。n 行を横に読むと C(n,0) から C(n,n) までの係数が並びます。
二項定理とは何ですか？
二項定理は (x + y)ⁿ = Σ C(n, k) xᵏ y^(n−k)（k は 0 から n までの和）を述べます。二項係数は各項の前に付く数値係数です。たとえば (x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴ で、係数 1、4、6、4、1 は C(4,0) から C(4,4) です。
k は n より大きくできますか？
できません。k > n の場合、集合に存在する数より多くの要素を選べないため、C(n, k) は 0 と定義されます。階乗公式でも (n−k)! が負の引数となり未定義なので、慣例上 0 です。計算機は k > n を入力するとエラーを表示します。