二次不等式グラフ計算機
ax² + bx + c op 0 の形の二次不等式を解析・グラフ化し、解、頂点、解集合、区間表示を確認できます。
係数 a、b、c を入力し、不等号を選ぶと、放物線を解析して解集合を求めます。
二次不等式グラフ計算機
ax² + bx + c op 0 の形の二次不等式を解析・グラフ化し、解、頂点、解集合、区間表示を確認できます。
二次不等式計算機について
二次不等式とは、二次式（2 次多項式）を <、≤、>、≥ のいずれかで値と比較する不等式です。最も一般的な形は ax² + bx + c > 0 または ax² + bx + c < 0 で、a ≠ 0 です。方程式が「式を 0 にする x の値」を求めるのに対し、二次不等式は「式が正、負、非正、非負になるすべての x の値」を求めます。答えは通常、実数直線上の 1 つの区間、または複数区間の和集合になります。
二次不等式を解く鍵は、放物線 y = ax² + bx + c を理解することです。a の符号は、放物線が上に開くか（a > 0）、下に開くか（a < 0）を決めます。x 切片、つまり対応する方程式 ax² + bx + c = 0 の解は、放物線が x 軸と交わる、または接する位置です。判別式 Δ = b² − 4ac から実数解の個数が分かります。Δ > 0 なら異なる 2 つの実数解、Δ = 0 ならちょうど 1 つ（重解）、Δ < 0 なら実数解はありません。
Δ > 0 かつ a > 0 のときに ax² + bx + c > 0 を解くと、放物線は上に開き、2 つの解の間で x 軸より下に沈むため、式が正になるのは解の外側です。つまり x < r₁ または x > r₂ です。同じ条件で < 0 を解くと、解は 2 つの解の間の区間 r₁ < x < r₂ になります。a < 0 の場合は放物線が下に開くので、これらの関係は逆になります。
Δ = 0 のときは 1 つの接点だけがあります。a > 0 なら、式はすべての x で ≥ 0 となり（重解で 0 に接するだけ）、< 0 となる x はありません。Δ < 0 で a > 0 の場合、放物線は x 軸と交わらず常にその上にあるため、ax² + bx + c > 0 はすべての実数 x で成り立ち、< 0 には解がありません。
二次不等式は、投射運動（物体がある高さより上にあるのはいつか）、最適化（どの入力でコストが収益を上回るか）、信号処理（周波数帯）、工学の許容差などで現れます。判別式 b² − 4ac と二次公式 x = (−b ± √Δ) / (2a) は、この解析の基本です。
この計算機は、係数 a、b、c と不等号を受け取り、判別式を計算し、実数解を求め、頂点を特定し、平易な説明と区間表示の両方で解集合を示します。放物線の開く向きも表示されるので、グラフのイメージをつかみやすくなります。
二次不等式の例
上に開く／下に開く放物線、2 つの異なる解、重解を含む 4 つのケースです。
| 不等式 | 解集合 | メモ |
|---|---|---|
| x² − 4x + 3 > 0 (a=1, b=−4, c=3) | (-∞, 1) ∪ (3, ∞) | 放物線は上に開き、解は x=1 と x=3。式が正なのは解の外側です。 |
| −x² + 2x + 3 ≤ 0 (a=−1, b=2, c=3) | (-∞, −1] ∪ [3, ∞) | 放物線は下に開き、解は x=−1 と x=3。式が非正なのは解の外側です。 |
| 2x² + 3x + 4 < 0 (a=2, b=3, c=4) | 解なし | 判別式 Δ = 9 − 32 = −23 < 0 かつ a > 0 なので、式は常に正です。 |
| x² − 6x + 9 ≥ 0 (a=1, b=−6, c=9) | すべての実数 | x=3 に重解（完全平方）があります。式は x=3 でのみ 0 になり、それ以外では正です。 |
二次不等式計算機の使い方
- 係数 a（x² の項）、b（x の項）、c（定数項）を入力します。a は 0 にできません。
- ドロップダウンから >、≥、<、≤ のいずれかを選びます。
- 「不等式をグラフ化」をクリックします。判別式の計算、解の特定（ある場合）、頂点の位置、完全な解集合の判定を行います。
- 結果パネルで区間表示の解集合を確認します。∪ は、解が 2 つの別々の区間からなることを表します。
- 「リセット」で全項目を消去し、新しい問題を始めます。
二次不等式計算機 FAQ
二次不等式とは何ですか？
二次不等式とは、ax² + bx + c > 0、ax² + bx + c < 0、≥、≤ のような形の不等式で、a ≠ 0 です。方程式のように特定の x を求めるのではなく、不等式を満たすすべての x を見つけます。通常はある範囲、または範囲の和集合になります。
先頭係数 a の符号は解にどう影響しますか？
a > 0 のとき放物線は上に開くので、式は 2 つの解の間で負、外側で正になります。a < 0 のときは下に開くので、式は 2 つの解の間で正、外側で負になります。a の符号を反転すると、解集合も実質的に反転します。
判別式が負のときはどうなりますか？
Δ = b² − 4ac < 0 なら、放物線は x 軸と交わりません。a > 0 なら式は常に正なので、ax²+bx+c > 0 はすべての実数 x で成り立ち（解集合 = ℝ）、ax²+bx+c < 0 には解がありません。a < 0 のときは逆です。
重解とは何で、解にどう影響しますか？
Δ = 0 のとき重解があり、放物線がちょうど 1 点で x 軸に接することを意味します。a > 0 なら、式はすべての x で ≥ 0 となり（≥ の解はすべての実数）、< では常に負になることはありません。≤ で重解 r がある場合、解は単一点 x = r だけです。
結果に出る区間表示はどう読めばよいですか？
丸括弧 ( ) は端点を含まない厳密な境界（> や < に使用）、角括弧 [ ] は端点を含む境界（≥ や ≤ に使用）を表します。∪ は「和集合」を意味し、解がどちらかの区間に入るすべての数の集合です。
解がすべての実数になることはありますか？
はい。a > 0 かつ Δ < 0 なら、ax² + bx + c はすべての実数 x で 0 より大きいため、ax²+bx+c > 0（または ≥ 0）の解は ℝ です。同様に、a < 0 かつ Δ < 0 なら、ax²+bx+c はすべての実数 x で 0 より小さくなります。