クラメルの公式計算機 - 連立一次方程式と行列式

クラメルの公式は線形代数の定理で、方程式の数と未知数の数が同じ連立一次方程式が一意解を持つ場合に、その解を明示的な公式で与えます。1750 年に発表したスイスの数学者 Gabriel Cramer にちなんで名付けられました。この公式では、各未知数の値を 2 つの行列式の比として表します。分子の行列式は、係数行列のうちその未知数に対応する列を定数ベクトルで置き換えて得られ、分母は元の係数行列の行列式です。 2×2 の連立方程式 ax + by = e、cx + dy = f では、係数行列は A = [[a,b],[c,d]]、行列式は D = ad − bc です。D ≠ 0 なら、一意解は x = (ed − bf)/D、y = (af − ce)/D です。3×3 の連立方程式では、4 つの行列式を計算する必要があります——係数行列のものが 1 つ、各変数について列を置き換えた行列のものが 1 つずつです。 D ≠ 0 という条件は不可欠です。D = 0 の場合、係数行列は特異行列であり、連立方程式は解を持たない（方程式が矛盾している）か、無限に多くの解を持つ（方程式が冗長である）かのどちらかです。クラメルの公式だけではどちらの場合かを判定できません——特異な連立方程式にはガウス消去法や行簡約などの別の方法を使う必要があります。 クラメルの公式は、計算上もっとも効率的な方法でない場合でも、重要な理論的性質を持ちます。各変数に対して明示的な閉形式を与えるため、記号代数、感度解析、証明で役立ちます。たとえば、すべての係数と定数が整数なら、各解の分子と分母も整数になることが保証されます——つまり有理数の入力は常に有理数の解を生みます。この有理性を保つ性質は、厳密算術計算で利用されます。 計算の観点では、2×2 と 3×3 の連立方程式では行列式の計算が速いため、クラメルの公式は実用的です。より大きな連立方程式では、ガウス消去法の方がはるかに効率的です（素朴な行列式展開の O(n!) に対して O(n³)）。しかし、この計算機が扱う小さな連立方程式では、クラメルの公式により解法の過程を段階的に明確に把握できます。結果パネルに表示される行列式の値によって、各手順を独立して確認できます。