根号計算機 - 平方根・立方根・n乗根の簡約

根号を含む式は、根号記号（√）、被開平数（記号の下にある数）、必要に応じて指数から成ります。指数は根号の左上に小さく書かれ、根の次数を表します。平方根は最もよく使われる根号で、指数 2 が省略されています。立方根の指数は 3、4 乗根は 4、そのほかも同様です。一般に ⁿ√a は a の n 乗根、つまり bⁿ = a を満たす数 b を意味します。 根号を簡約するとは、根号の中から完全 n 乗を取り除き、これ以上簡約できない形に書き換えることです。その基本は積の法則 ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b です。ⁿ√a を簡約するときは、a を完全 n 乗の因子と残りの因子に分けます。たとえば √50 なら、50 = 25 × 2 = 5² × 2 なので、√50 = √(5²) · √2 = 5√2 です。 高次の根でも考え方は同じで、完全 n 乗の因子を探します。例えば ∛54 は、54 = 27 × 2 = 3³ × 2 なので、∛54 = ∛(3³) · ∛2 = 3∛2 です。5 乗根なら、⁵√96 = ⁵√(32 × 3) = ⁵√(2⁵ × 3) = 2·⁵√3 となります。 この根号計算機は、こうした因数分解を自動で行います。被開平数の中で最も大きい完全 n 乗因子を見つけ、その n 乗根を係数として外に出し、残りを根号の中に残します。被開平数自体が完全 n 乗なら、結果は根号のない整数になります。 根号の簡約は、代数で非常に重要です。簡約形のほうが比較しやすく、足し合わせやすく、次の計算にも使いやすいからです。3√2 + 5√2 = 8√2 のような和が成り立つのは、根号の中身が同じときだけです。したがって、どの項をまとめられるかを見分けるには、まず簡約が必要です。幾何でも根号は頻出します。正方形の対角線は √2、辺の長さ a の正三角形の高さは (a√3)/2、黄金比にも √5 が現れます。根号の簡約を身につけることは、代数、三角法、微積分の学習に欠かせません。