重心計算機 - 多点質量系統
加重平均の式を使って、任意個数の 2 次元質点の重心を計算します。
各質点の質量と x,y 座標を入力すると重心を求められます。必要なだけ質点を追加できます。
重心計算機 - 多点質量系統
加重平均の式を使って、任意個数の 2 次元質点の重心を計算します。
質量 (kg)X 座標 (m)Y 座標 (m)
重心計算機について
重心（等密度の重力場では質心や重力中心とも呼ばれます）は、系の全質量がそこに集中しているとみなせる一意の点で、並進運動の解析に使われます。点質量の集まりでは、重心は位置の加重平均として求められ、各質量がそれぞれの値で重み付けされます。
座標 (x₁, y₁)、(x₂, y₂)、...、(xₙ, yₙ) にある n 個の質点 m₁, m₂, ..., mₙ に対し、重心座標は次のように表されます。
x_cm = (m₁x₁ + m₂x₂ + ... + mₙxₙ) / (m₁ + m₂ + ... + mₙ)
y_cm = (m₁y₁ + m₂y₂ + ... + mₙyₙ) / (m₁ + m₂ + ... + mₙ)
この式は z_cm 成分を加えるだけで自然に 3 次元へ拡張できます。棒や板、体積のような連続質量分布では、離散和の代わりに積分を用いますが、位置の加重平均という原理は同じです。
重心は古典力学の基本概念です。粒子系に対するニュートンの法則は重心運動で書き換えられ、系に働く外力の合計は総質量×重心加速度に等しくなります。つまり、内部力に関係なく、重心は合外力のもとで総質量をもつ 1 つの粒子のように運動します。
工学では、重心計算は構造安定性、車両力学、宇宙機の姿勢制御に不可欠です。構造物は、重心が支持面の真上にあれば安定します。航空機や宇宙機では、制御可能な飛行を維持するために慎重な質量バランスが必要で、貨物や燃料の移動が重心を変え、機体の応答に影響します。
ロボティクスでは、重心の追跡はバランスと移動に重要です。歩行ロボットは倒れないように、重心軌道を継続的に予測・調整する必要があります。スポーツ科学でも、跳躍・体操・投てきの技術を最適化するうえで、選手の重心軌跡の理解が役立ちます。
この計算機は 2 次元の任意個数の質点に対応し、質量と位置の両方で単位を選択できます。結果は全精度の浮動小数点で計算され、8 桁の有効数字で表示されます。
重心の例
よくある質点配置の重心計算例です。
| 質量系 | 重心 | 注記 |
|---|---|---|
| 2 kg の質点が (0,0)、2 kg の質点が (4,0) | x_cm = 2, y_cm = 0 | 等しい質量が対称配置され、重心は中点になる |
| 1 kg の質点が (0,0)、3 kg の質点が (4,0) | x_cm = 3, y_cm = 0 | x=4 の重い質量が重心を引き寄せる |
| 5 kg の質点が (1,1)、5 kg の質点が (3,1)、5 kg の質点が (2,3) | x_cm = 2, y_cm = 1.667 | 等しい質量の正三角形配置で、重心は幾何学的中心にある |
| 10 kg の質点が (0,0)、20 kg の質点が (6,0)、30 kg の質点が (3,6) | x_cm = 3.5, y_cm = 3 | x_cm = (0+120+90)/60 = 3.5; y_cm = (0+0+180)/60 = 3 |
重心計算機の使い方
- 質量の単位（kg、g、lb、oz）と位置の単位（m、cm、mm、ft、in）を選びます。
- 表の各行に、各質点の質量と x, y 座標を入力します。
- 「+ 質点を追加」をクリックすると、質量点をさらに追加できます。
- 「計算」をクリックすると、重心座標 x_cm、y_cm と総質量を求めます。
- 「リセット」をクリックすると、すべての項目がクリアされ、初期の 2 点レイアウトに戻ります。
重心 FAQ
重心とは何ですか？
重心は、外力と並進運動を解析するために、系の全質量が集中しているとみなせる点です。すべての質点位置の加重平均として求めます: x_cm = Σ(mᵢ·xᵢ) / Σmᵢ。等しい重力場では、重心は重力中心と一致します。
複数の質点の重心はどう計算しますか？
各質量にその座標を掛け、その積を合計してから総質量で割ります。x については x_cm = (m₁x₁ + m₂x₂ + ... + mₙxₙ) / (m₁ + m₂ + ... + mₙ) です。y_cm も同様に y 座標で計算します。この計算機は任意個数の質量について、その和を自動で処理します。
重心と質心の違いは何ですか？
質心は純粋に幾何学的な概念で、密度を考えず形の境界や面積の平均位置を表します。重心は実際の質量分布を考慮します。密度が一様な物体では両者は一致し、非一様では異なります。
重心は物体の内部になければいけませんか？
いいえ。穴や空洞、凹形の物体では、重心が物体の外にあることがあります。輪の重心は幾何学的中心、つまり内側の空間にあります。馬蹄形の物体でも、開口部の中央の空中に重心が来ます。
この計算機は 3D に使えますか？
この計算機は 2 次元の質点（x と y 座標）を扱います。3D では、同じ式で z 座標について z_cm = Σ(mᵢ·zᵢ) / Σmᵢ も計算します。この計算機の x と y の結果は、3D 計算の対応成分としてそのまま使えます。
なぜ質量は正でなければならないのですか？
物理的な質量は常に正なので、この計算機では正の値が必要です。負の質量は古典力学では物理的な意味を持ちません。0 を入力した点は重心計算に寄与せず、実質的に無視されます。