条件数計算機 - 行列の条件と安定性

可逆行列 A の条件数は κ(A) = ‖A‖ · ‖A⁻¹‖ と定義され、ここで ‖·‖ は任意の整合的な行列ノルムを表します。これは、連立一次方程式 A·x = b の解 x における相対誤差が、右辺 b の相対誤差によってどの程度増幅されるかを測る指標です。直感的には、条件数が小さい行列は条件が良く、入力の小さな誤差が出力の小さな誤差にとどまります。条件数が大きい行列は条件が悪く、データに含まれるごくわずかな丸め誤差でも、非常に不正確な解を生むことがあります。 この計算機は 2 × 2 と 3 × 3 の行列、および最も広く使われる 3 種類の行列ノルムに対応しています。1ノルムは絶対値の列和の最大値で、‖A‖₁ = max_j Σᵢ |aᵢⱼ| です。∞ノルムは絶対値の行和の最大値で、‖A‖∞ = max_i Σⱼ |aᵢⱼ| です。Frobenius ノルムは全成分の二乗和の平方根で、‖A‖_F = √(Σᵢⱼ |aᵢⱼ|²) となり、ユークリッドベクトルノルムの行列版に相当します。2 × 2 行列では、逆行列は解析的に A⁻¹ = (1/det A) · [[d, −b], [−c, a]] と計算されます。3 × 3 行列では、余因子（随伴行列）公式を用います。 条件数は数値線形代数の中心的な概念です。コンピュータで LU 分解やガウス消去法を用いて連立一次方程式を解くと、計算された解の相対誤差はおおむね κ(A) · ε で上から抑えられます。ここで ε は機械精度（IEEE-754 倍精度では約 10⁻¹⁶）です。したがって、条件数が 10⁶ であれば、丸め誤差だけで最大 6 桁の精度を失う可能性があります。目安として、κ < 100 の行列は条件が良い、100 から 1000 の間は中程度、10³ を超えるものは条件が悪く、注意が必要です。 重要な注意点もあります。条件数は選んだノルムに依存するため、異なるノルムで得た値は直接比較できませんが、通常は小さな定数倍の範囲に収まります。特異値に基づく 2 ノルム（スペクトルノルム）の条件数は理論的には最も自然ですが、計算コストが高いためここでは提供していません。特異行列は行列式が正確にゼロで逆行列を持たず、条件数は無限大です。計算機はこの場合を明示的に検出します。 小さな連立一次方程式が数値的に安全に反転できるか確認したいとき、初歩的な数値解析を教えるとき、あるいはより大きなシミュレーションや機械学習パイプラインで方程式を解く前の簡単な確認として、このツールを使ってください。