行列対角化計算機
2×2 と 3×3 の行列の固有値、固有ベクトル、対角化 P⁻¹AP = D を求めます。
行をセミコロン、要素をカンマで区切って入力します。たとえば、2×2 行列 [[3,1],[0,2]] は 3,1;0,2 と入力します。
行列対角化計算機
2×2 と 3×3 の行列の固有値、固有ベクトル、対角化 P⁻¹AP = D を求めます。
行列の対角化について
行列の対角化は線形代数の基本的な手続きで、相似変換によって正方行列 A を対角行列 D に変換します。その関係は P⁻¹AP = D と表され、P は固有ベクトル行列、D は固有値を対角成分にもつ対角行列です。
正方行列 A の固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たすスカラーです。ここで I は単位行列です。この式は A の特性方程式と呼ばれ、det(A − λI) に対応する多項式は特性多項式です。2×2 行列では二次式、3×3 行列では三次式になります。固有値はこの多項式の根です。
各固有値 λ に対して、対応する固有ベクトルは (A − λI)v = 0 の非零解です。解全体（零ベクトルを含む）は λ に対応する固有空間を成します。行列が対角化可能であるのは、全体の基底を作れるだけの一次独立な固有ベクトルを持つ場合に限られます。言い換えると、各固有値について幾何重複度が代数重複度に等しい必要があります。
対角行列 D は主対角線上に固有値が並び、それ以外は 0 です。変換行列 P には対応する固有ベクトルが列として並び、その順序は D の固有値の順序と一致します。P が可逆であれば（つまり A が対角化可能であれば）、関係 P⁻¹AP = D を確認できます。
対角化が非常に便利なのは、対角行列は扱いやすいからです。対角行列のべき乗は簡単で、D^n は各対角成分を n 乗するだけです。つまり、大きな n に対する A^n は P D^n P⁻¹ として計算でき、繰り返し行列積を行うよりはるかに効率的です。これはフィボナッチ数の計算、レスリー行列による個体群成長のモデル化、微分方程式系の解法に直接応用されます。
データサイエンスや統計では、主成分分析（PCA）が対角化に直接依存しています。データセットの共分散行列は対称なので、必ず実固有値を用いて対角化できます。固有ベクトルは主成分、つまり分散が最大となる方向を定義し、固有値は各成分がどれだけ分散を説明するかを示します。
量子力学では、ハミルトニアン行列を対角化すると、物理系のエネルギー準位と固有状態が得られます。機械工学では、構造物の振動における固有振動数とモード形状は、系の剛性行列と質量行列を対角化することで求められます。
すべての行列が対角化できるわけではありません。重複固有値を持つ行列は、その固有値ごとに十分な固有空間があるかどうかで対角化可否が決まります。2 次元の回転行列は複素固有値を持つため、実数上では対角化できません。そのような場合は、Jordan 標準形が対角形に最も近い表現を与えます。
対角化の例
さまざまな行列がどのように対角化されるかを示す例です。
| 行列 | 固有値 | 備考 |
|---|---|---|
| 3,1;0,2 （2×2 上三角） | λ₁ = 3, λ₂ = 2 | 上三角行列の固有値は対角成分にあります。P = [[1,1],[0,−1]], D = [[3,0],[0,2]]。 |
| 2,1;1,2 （2×2 対称） | λ₁ = 3, λ₂ = 1 | 対称行列は常に実固有値で対角化できます。固有ベクトルは直交し、[1,1] と [1,−1] です。 |
| 4,1;0,4 （2×2 欠陥行列） | λ = 4（重複） | 重複固有値に対して一次独立な固有ベクトルが 1 本しかないため、対角化できません。Jordan 形が必要です。 |
| 1,0,0;0,2,0;0,0,3 （3×3 対角） | λ₁ = 1, λ₂ = 2, λ₃ = 3 | 対角行列はすでに対角化された形です。P = I、D は A そのものです。 |
行列対角化計算機の使い方
- 行はセミコロン、各行の要素はカンマで区切って入力します。2×2 行列 [[a,b],[c,d]] なら a,b;c,d と入力します。
- ［対角化］をクリックします。計算機は特性多項式を求め、固有値を見つけ、その後固有ベクトルを解きます。
- ［固有値］セクションで、行列のすべての固有値 λ を確認します。
- ［行列 P］セクションでは固有ベクトルが列として表示され、［対角行列 D］では固有値が対角線上に並びます。
- 行列が対角化できない場合（複素固有値、または固有ベクトル不足）、実数上で対角化できない理由が表示されます。
行列対角化 FAQ
行列が対角化可能とはどういう意味ですか？
可逆行列 P が存在して P⁻¹AP = D となり、D が対角行列であるとき、正方行列 A は対角化可能です。別の言い方をすると、A はサイズ n に対して n 本の一次独立な固有ベクトルを持つ必要があります。これは、各固有値の幾何重複度が代数重複度に等しい場合に成り立ちます。
固有値と固有ベクトルとは何ですか？
固有値 λ とは、Av = λv を満たす非零解 v が存在するようなスカラーです。ベクトル v が対応する固有ベクトルです。幾何学的には、固有ベクトルは行列 A によって伸縮や反転（λ 倍）されるだけで、回転しない方向です。固有値は det(A − λI) = 0 を解くことで求められます。
行列の対角化はなぜ便利なのですか？
対角行列は扱いやすいためです。対角行列の n 乗は、各対角成分を n 乗するだけで求められます。そのため A^n = P D^n P⁻¹ は効率的です。対角化は方程式系を分離し、微分方程式、個体群モデル、グラフ解析を簡単にします。
行列が対角化できないのはどんなときですか？
ある固有値の幾何重複度が代数重複度より小さいとき、つまり固有空間が十分に大きくないとき、その行列は対角化できません。また、実数上では複素固有値を持つ行列（2 次元回転行列など）は実行列で対角化できません。
代数重複度と幾何重複度の違いは何ですか？
固有値の代数重複度は、特性多項式の根として何回現れるかを表します。幾何重複度は対応する固有空間の次元（一次独立な固有ベクトルの数）です。対角化可能であるには、すべての固有値でこの 2 つが等しい必要があります。
すべての対称行列は対角化できますか？
はい。スペクトル定理により、すべての実対称行列は直交行列 P を用いて対角化できます（このとき P⁻¹ = Pᵀ）。しかも固有値はすべて実数です。この性質が、PCA や統計学・物理学の多くの手法で対称行列が使われる理由です。