行列計算機
加算、減算、乗算、転置、行列式まで、必要な行列演算をすべて1つの無料オンライン線形代数ツールで実行できます。
演算を選び、1つまたは2つの行列をセミコロンとカンマの形式で入力して、計算をクリックするとすぐに結果が表示されます。
行列計算機
加算、減算、乗算、転置、行列式まで、必要な行列演算をすべて1つの無料オンライン線形代数ツールで実行できます。
行はセミコロン（;）、列はカンマ（,）で区切ります。例: 1,2;3,4 は 2×2 行列です。
行列計算機について
行列は、行と列に並んだ数値の長方形配列です。行列は線形代数の基本的なデータ構造であり、物理学、工学、コンピューターグラフィックス、統計学、機械学習におけるほぼすべての問題は、行列とその演算で表現できます。この計算機では、最もよく使う5つの演算、つまり加算、減算、乗算、転置、行列式を扱えます。
行列の加算と減算は要素ごとの演算であり、両方の行列が同じ次元である必要があります。対応する要素を位置ごとに組み合わせ、同じ大きさの結果行列を作ります。減算は、各位置でプラスの代わりにマイナスを使うだけです。
行列の乗算はより複雑です。m×n 行列 A に n×p 行列 B を掛けるには、A の列数と B の行数が一致していなければなりません。得られる m×p 行列の各要素は、A の1行と B の1列の内積で計算されます: C[i][j] = Σ A[i][k] × B[k][j]。通常の掛け算と違い、行列の乗算は交換法則が成り立たず、一般に AB ≠ BA です。
行列の転置は、行と列を入れ替えて求めます。A が m×n 行列なら、その転置 Aᵀ は n×m 行列で、Aᵀ[i][j] = A[j][i] です。転置は、統計学における共分散行列の計算や、線形回帰の正規方程式の導出など、多くの式で重要です。
行列式は、正方行列に関連するスカラー値で、重要な幾何学的・代数的情報を表します。2×2 行列 [[a,b],[c,d]] では det = ad − bc です。より大きな行列では、再帰的な余因子展開や行基本変形を使って計算します。行列式が 0 でないならその行列は可逆で、0 なら特異で逆行列を持ちません。
これら5つの演算は、日常的な線形代数で学生や実務者が必要とすることの大半をカバーします。連立方程式を解くとき、3Dグラフィックスで物体を回転させるとき、回帰モデルを当てはめるとき、ネットワークグラフを解析するときなど、行列を加算・減算・乗算・転置し、行列式を求める方法を理解していれば、ほぼあらゆる定量的な問題に取り組む強力な道具になります。
行列計算機の例
5つの例で、対応する5種類の演算を示します。
| 入力 | 結果 | メモ |
|---|---|---|
| 加算: A = [[1,2],[3,4]], B = [[5,6],[7,8]] | [[6,8],[10,12]] | 要素ごとの加算。両方の行列は同じ大きさでなければなりません。 |
| 乗算: A = [[1,2],[3,4]], B = [[2,0],[1,2]] | [[4,4],[10,8]] | C[0][0] = 1×2 + 2×1 = 4。C[0][1] = 1×0 + 2×2 = 4。C[1][0] = 3×2 + 4×1 = 10。C[1][1] = 3×0 + 4×2 = 8。 |
| 転置: A = [[1,2,3],[4,5,6]] | [[1,4],[2,5],[3,6]] | 2×3 行列が 3×2 行列になります。行が列になります。 |
| 行列式: A = [[3,8],[4,6]] | −14 | det = 3×6 − 8×4 = 18 − 32 = −14。行列式が 0 でないので A は可逆です。 |
| 減算: A = [[9,5],[3,7]], B = [[4,2],[1,3]] | [[5,3],[2,4]] | B の各要素を A の対応する要素から引きます。 |
行列計算機の使い方
- 加算、減算、乗算、転置、行列式のいずれかの演算ボタンをクリックして、実行したい計算を選びます。
- 最初の欄に行列 A を入力します。行はセミコロンで、同じ行の値はカンマで区切ります。たとえば 1,2;3,4 は [[1,2],[3,4]] を表します。
- 加算、減算、乗算では、2つ目の欄に行列 B も入力します。転置と行列式では行列 A だけで構いません。
- 計算をクリックします。結果は下に表示されます。加算、減算、乗算、転置は行列として、行列式は1つの数値として表示されます。
- リセットをクリックするとすべての欄がクリアされ、最初からやり直せます。演算を切り替えて、同じ行列を別の計算に使うこともできます。
よくある質問
2つの行列はいつ掛け算できますか？
A の列数が B の行数に等しい場合に限り、2つの行列 A と B は掛け算できます（A × B）。A が m×n、B が n×p なら、積 C は m×p になります。内側の次元が一致しない場合、掛け算は定義されず、計算機は次元エラーを表示します。
行列の乗算は交換法則を満たしますか？
いいえ。一般に、両方の積が定義できる場合でも AB ≠ BA です。これは行列が普通の数と最も大きく違う点のひとつです。たとえば A がベクトルを90°回転し、B がそれを反転させるなら、操作の順序によって異なる変換になります。
行列式が 0 だとどういう意味ですか？
行列式が 0 ということは、その行列が特異で、逆行列を持たず、行（または列）が線形従属であることを意味します。幾何学的には、空間をより低い次元の対象へつぶしてしまうことを示します。連立方程式では、係数行列が特異だと、解が存在しないか、無限に多くの解を持ちます。
正方行列でない行列はどう入力しますか？
標準形式を使います。1行の要素はカンマで、行はセミコロンで区切ります。たとえば 2×3 行列 [[1,2,3],[4,5,6]] は 1,2,3;4,5,6 と入力します。正方行列でなくても加算、減算、乗算、転置には使えますが、行列式には使えません。
転置は何に使いますか？
転置は行と列を入れ替えます。点積の計算、対称行列の作成、正規方程式 (AᵀA)x = Aᵀb による最小二乗問題の解法、複素解析での共役転置の計算など、多くの線形代数の公式で使われます。機械学習では、重み行列の転置はニューラルネットワークの順伝播と逆伝播で日常的に使われます。
この計算機は 3×3 より大きい行列も扱えますか？
はい。任意の一貫した次元の行列に対して、すべての演算をサポートしています。大きな行列の行列式はガウス消去法で計算され、少なくとも 10×10 までは十分正確です。非常に大きな行列では、浮動小数点演算のために数値精度がわずかに低下することがあります。