行列式計算機

行列式は、任意の正方行列から計算できる単一のスカラー値で、その行列の重要な代数的性質を要約します。線形代数で最も重要な量の一つであり、連立方程式の理論、固有値、逆行列、微積分における変数変換公式、物理学や工学の多くの分野に現れます。 2×2 行列 [[a, b],[c, d]] の行列式は ad − bc と定義されます。この式は、行列の 2 つの行ベクトルが作る平行四辺形の符号付き面積を表します。3×3 行列では、任意の行または列に沿った余因子展開によって行列式を計算し、選んだ行または列の成分で重み付けされた 3 つの 2×2 行列式と交互の符号に問題を分解します。 より大きな行列では、最も効率的な厳密手法はガウス消去法（LU 分解）です。一連の行基本変形で行列を上三角形にし、行の入れ替えを記録します（入れ替え 1 回ごとに行列式の符号が変わります）。上三角行列の行列式は対角成分の積なので、それらの対角値を掛け合わせ、累積した符号係数を適用します。 行列式の符号と大きさには豊富な情報があります。正の行列式は、行列が表す変換が向きを保つことを意味します。負の行列式は、反射のように向きを反転することを意味します。行列式の絶対値は、行列が体積を何倍に拡大・縮小するかを表す倍率です。たとえば行列式が 5 なら体積を 5 倍に拡大し、0.5 なら半分に圧縮します。 行列式が 0 であることは特に重要です。これは行列が特異であり、行（または列）が線形従属で、変換が空間をより低次元の部分空間へ潰し、逆行列を持たないことを意味します。線形方程式系 Ax = b では、A の行列式が 0 の場合、b が A の像に含まれるかどうかに応じて、解がないか無限個の解を持ちます。 この計算機は安定性のために部分ピボット選択付きガウス消去法を使用し、任意のサイズの行列を正しく扱います。結果は浮動小数点ノイズを取り除きつつ実用計算に必要な精度を保つため、有効数字 10 桁に丸められます。