Gram-Schmidt 正規直交化計算機

Gram-Schmidt 法は、線形代数で最も重要なアルゴリズムの1つです。線形独立なベクトル集合が与えられると、それらと同じ部分空間を張る、互いに直交した新しいベクトル集合を体系的に作り出します。さらに各直交ベクトルをその長さで割って単位ベクトルにすると、正規直交基底が得られます。正規直交基底は、射影、回転、反射、分解を含むほとんどすべての計算を簡単にするため、線形代数における最良基準とされています。 アルゴリズムは帰納的に進みます。最初の出力ベクトルは、最初の入力ベクトルをそのまま使います。2番目の出力ベクトルは、2番目の入力ベクトルから1番目の出力ベクトルへの射影を引いたものです。これにより2番目の出力は1番目に垂直になります。3番目の出力は、3番目の入力ベクトルから最初の2つの出力への射影を取り除いたものです。一般に、k番目の出力ベクトルは、k番目の入力ベクトルからそれ以前のすべての出力ベクトルへの射影の総和を引いたものになります。ベクトル v を直交化済みベクトル u に射影する式は (v·u / u·u) × u で、· は内積を表します。 この過程で、すべての射影を引いた結果が零ベクトルになる場合、その入力ベクトルは先行するベクトルに線形従属しているため、単純に破棄されます。計算機はこれを自動で判定し、入力集合の階数、つまり本当に独立なベクトルの数を表示します。実際には、浮動小数点の丸め誤差でほぼ零になるベクトルを拾うために、わずかな数値しきい値も使われます。 正規直交基底は、各直交出力ベクトルをユークリッドノルム（自分自身との内積の平方根）で割ることで得られます。こうして得られるベクトルはすべて長さがちょうど1で、互いに直交します。この正規直交集合は、元の入力が張る部分空間の正規直交フレームを構成します。 Gram-Schmidt 法の応用は、ほぼあらゆる定量分野に及びます。数値線形代数では QR 分解の基礎となり、最小二乗問題の解法や固有値計算に使われます。信号処理では、直交フィルタバンクの構築や独立した信号成分の分離に利用されます。量子力学では、量子系の状態空間はヒルベルト空間であり、物理量は固有ベクトルの正規直交基底に対応します。統計学や機械学習では、主成分分析（PCA）は、データの分散が最大となる方向に沿った正規直交基底を見つけるものと理解できます。コンピュータグラフィックスでは、カメラやオブジェクトの座標系を作るのに、互いに直交する3つの単位ベクトルが必要で、これは Gram-Schmidt 法で自然に求められます。 この計算機は任意次元のベクトルに対応し、線形従属な入力も適切に処理し、中間の直交ベクトルと最終的な正規直交ベクトルを並べて表示するので、変換の各段階を確認できます。