弦長計算機 - 弦長、半径、中心角

弦は円幾何の基本的な線分の1つです。円周上の異なる2点を結び、円の内部を2つの領域に分けます。直径は円の中心を通る特別な弦で、どの円でも最長の弦です。それ以外の弦はすべて直径より厳密に短く、中心角も180°より厳密に小さくなります。 弦長、半径、中心角の関係は、c = 2r × sin(θ/2) という式で表されます。ここで c は弦長、r は半径、θ はラジアンで表した中心角です。この式は余弦定理から導かれます。円の中心から弦の両端へ半径を引くと、2辺の長さが r、はさむ角が θ の二等辺三角形ができます。余弦定理を適用すると c² = 2r²(1 − cos θ) となり、半角公式 1 − cos θ = 2 sin²(θ/2) を使うと、c = 2r sin(θ/2) に簡略化できます。 この計算機は、この式を3通りに変形した3つのモードに対応しています。弦長を求めるモードでは、r と θ を入力すると 2r sin(θ/2) を直接計算します。半径を求めるモードでは、c と θ を入力すると r = c / (2 sin(θ/2)) を計算し、実測した弦と既知の角度から半径を求めるときに便利です。中心角を求めるモードでは、r と c を入力すると θ = 2 arcsin(c / (2r)) を計算し、その正弦が c/(2r) になる角度を求めます。 角度の単位は度とラジアンを自由に切り替えられます。多くの人にとって度のほうが直感的なので既定ですが、工学や科学計算では、弧長 = r × θ が成り立つのがラジアンだけなので、ラジアンがよく使われます。計算機は内部で変換するため、元データに合わせてどちらでも使えます。 弦長計算の実用例は数多くあります。構造工学では、アーチ橋の設計において、スパン（弦長）、立ち上がり、曲率半径の関係が使われます。機械工学では、インボリュート歯車の歯形がピッチ円上の弦長計算に依存します。測量では、弦長と弧長の測定を組み合わせて、曲線が視線測量を妨げる場面で距離を求めます。木工では、特定の距離をまたぐように曲線材を切り出す職人が、この式をそのまま使います。航海では歴史的に、現代の三角関数表の前身である弦表を使って、球面上の距離を計算していました。 この計算機は、物理的な制約の範囲内にある有効な入力ならどれでも扱えます。半径は正でなければならず、弦長は正かつ半径の2倍以下でなければならず、角度は正で360°未満、または2πラジアン未満でなければなりません。結果は小数点以下8桁に丸められており、実用上は十分すぎる精度です。