ガウス・ジョルダン消去法計算機 - 連立一次方程式を解く
拡大係数行列を簡約行階段形に変換して、連立一次方程式を解きます。
連立一次方程式の係数を入力し、行列のサイズを設定して、求解をクリックすると完全な解が得られます。
ガウス・ジョルダン消去法計算機 - 連立一次方程式を解く
拡大係数行列を簡約行階段形に変換して、連立一次方程式を解きます。
各方程式の係数を入力してください。最後の列は定数項 (b) です。
| x1 | x2 | | | b |
|---|---|---|---|
| | | |||
| | |
ガウス・ジョルダン消去法について
ガウス・ジョルダン消去法は、拡大係数行列に基本行操作を適用し、簡約行階段形 (RREF) に到達するまで変形することで連立一次方程式を解く体系的なアルゴリズムです。カール・フリードリヒ・ガウスとヴィルヘルム・ジョルダンにちなんで名付けられたこの方法は、各ピボットが 1 になり、ピボット列の他の成分がすべて 0 になるまで簡約を続けることで、ガウス消去法を拡張します。その結果、後退代入を行わずに解を直接読み取れます。
手順は拡大係数行列 [A | b] を作ることから始まります。ここで A は変数の係数を含み、b は各方程式の右辺の定数を含みます。適用される行操作は、2 つの行の交換、ある行に 0 でないスカラーを掛ける操作、ある行の倍数を別の行に加える操作の 3 種類です。これらの操作は系の解集合を変えないため、最終的な RREF 行列は同値な系を表します。
n 個の未知数を持つ n 本の方程式からなる系には、ちょうど 1 つの解（係数行列がフルランクの場合）、解なし（系が矛盾し、左辺がすべて 0 で右辺が 0 でない行が現れる場合）、または無数の解（系が従属し、ピボット列の数が変数の数より少ない場合）があります。ガウス・ジョルダン消去法は、この 3 つのケースを明確に判定します。
この方法は、任意の連立一次方程式を解くための明確でアルゴリズム的な道筋を示すため、線形代数の授業で広く教えられています。実務上の数値アルゴリズムでは、安定性を高め、丸め誤差を減らすために部分ピボット選択が使われます。ガウス・ジョルダン消去法は、逆行列の計算、最小二乗問題の解法、零空間の計算の基礎にもなります。
この計算機は、2x2、3x3、4x4 の系に対して、部分ピボット選択付きのガウス・ジョルダン消去法を実装しています。解の値とともに完全な RREF 行列を表示するため、結果だけでなく系の代数的構造も把握できます。
例
代表的な連立一次方程式とその解：
| 方程式系 | 解 | 注記 |
|---|---|---|
| 2x + y = 5, 4x + 3y = 11 | x1 = 2, x2 = 1 | 一意な 2x2 の解 |
| 2x + y + z = 8, x + 3y - z = 10, x + y + 2z = 7 | x1 = 2, x2 = 3, x3 = 1 | 3x3 の一意解 |
| x + y = 3, 2x + 2y = 6 | 無数の解 | 従属する系 |
| x + y = 3, x + y = 5 | 解なし | 矛盾する系 |
使い方
- サイズボタンを使って、方程式の数（行）と変数の数（列）を選択します。
- 対応する行列セルに各変数の係数を入力します。最後の列には定数項を入力します。
- 求解をクリックして、部分ピボット選択付きのガウス・ジョルダン消去法を実行します。
- 解パネルから解を読み取ります。各変数に一意の値が表示されていれば、それが答えです。
- 下の RREF 行列を確認して、代数的構造を理解したり計算を検証したりします。
よくある質問
ガウス・ジョルダン消去法とは何ですか？
ガウス・ジョルダン消去法は、拡大係数行列を簡約行階段形 (RREF) まで完全に簡約するガウス消去法の拡張です。後退代入が必要なガウス消去法とは異なり、ガウス・ジョルダン消去法では解を直接読み取れる行列が得られます。
簡約行階段形 (RREF) とは何ですか？
各先頭成分（ピボット）が 1 で、ピボット列の他の成分がすべて 0 であり、ピボットが上から下へ左から右の順に現れるとき、行列は RREF です。RREF は任意の行列に対して一意で、連立一次方程式の解を直接表します。
系に解がないとはどういう意味ですか？
消去過程で [0 0 ... 0 | k]（k は 0 でない）の形の行が現れると、その系は矛盾しています。これは方程式どうしが互いに矛盾し、すべてを同時に満たす点が存在しないことを意味します。
系に無数の解があるとはどういう意味ですか？
RREF のピボット数が変数の数より少なく、自由変数が残ると無数の解が生じます。各自由変数は任意の実数値を取ることができ、解の族を生成します。解集合は直線、平面、またはより高次元の部分空間になります。
部分ピボット選択とは何で、なぜ使われますか？
部分ピボット選択では、現在の列で絶対値が最大の要素がピボットになるように行を交換します。これにより、非常に小さい数で割ることによる数値誤差が減り、浮動小数点演算でアルゴリズムがより安定します。
この方法で行列の逆行列を求められますか？
はい。n 行 n 列の行列 A を逆行列にするには、n 行 n 列の単位行列を付け加えて [A | I] を作り、ガウス・ジョルダン消去法を適用します。A が可逆なら、結果は [I | A の逆行列] となり、逆行列を直接得られます。この計算機は拡大係数系に焦点を当てていますが、同じ行操作が適用できます。