ガウス・ジョルダン消去計算機 - 連立一次方程式を解く
拡大係数行列を簡約行階段形に変形して、連立一次方程式を解きます。
連立方程式の係数を入力し、行列のサイズを設定してから［解く］を押すと、完全な解が得られます。
ガウス・ジョルダン消去計算機 - 連立一次方程式を解く
拡大係数行列を簡約行階段形に変形して、連立一次方程式を解きます。
各方程式の係数を入力してください。最後の列は定数項（b）です。
| x1 | x2 | | | b |
|---|---|---|---|
| | | |||
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ガウス・ジョルダン消去法について
ガウス・ジョルダン消去法は、拡大係数行列に基本行変形を繰り返し適用し、簡約行階段形（RREF）に到達させることで連立一次方程式を解く体系的なアルゴリズムです。カール・フリードリヒ・ガウスとヴィルヘルム・ヨルダンにちなんで名付けられ、ガウス消去法をさらに進めて、各ピボットが 1、ピボット列の他の成分がすべて 0 になるまで簡約します。これにより、後退代入をせずに解を直接読み取れます。
手順は、まず拡大係数行列 [A | b] を作ることから始まります。ここで A には変数の係数、b には各方程式右辺の定数が入ります。次に、2 行の交換、1 行への非零スカラー倍、ある行の倍数を別の行に加える、という 3 種類の行操作を用います。これらの操作は方程式系の解集合を変えないため、最終的な RREF 行列は元の方程式系と同値です。
n 個の方程式と n 個の未知数からなる系は、ちょうど 1 つの解を持つ場合（係数行列がフルランク）、解を持たない場合（不整合で、左辺がすべて 0 で右辺が 0 でない行が現れる）、無数の解を持つ場合（従属で、ピボット列数が変数数より少ない）があります。ガウス・ジョルダン消去法はこの 3 つを明確に判別します。
この方法は、任意の連立一次方程式を解くための明快な手順を与えるため、線形代数の授業で広く教えられています。実際の数値計算では、安定性を高めて丸め誤差を減らすために部分ピボット選択が使われます。ガウス・ジョルダン消去法は、行列の逆行列計算、最小二乗問題の解法、零空間の計算の基礎にもなります。
この計算機は、2x2、3x3、4x4 の系に対して部分ピボット選択付きのガウス・ジョルダン消去法を実装しています。完全な RREF 行列と解の値を並べて表示するので、結果だけでなく方程式系の代数構造も把握できます。
例
代表的な連立方程式とその解：
| 方程式系 | 解 | 備考 |
|---|---|---|
| 2x + y = 5, 4x + 3y = 11 | x1 = 2, x2 = 1 | 2x2 の一意解 |
| 2x + y + z = 8, x + 3y - z = 10, x + y + 2z = 7 | x1 = 2, x2 = 3, x3 = 1 | 3x3 の一意解 |
| x + y = 3, 2x + 2y = 6 | 無数の解 | 従属な方程式系 |
| x + y = 3, x + y = 5 | 解なし | 不整合な方程式系 |
使い方
- サイズボタンで方程式の数（行）と変数の数（列）を選びます。
- 対応する行列セルに各変数の係数を入力します。最後の列には定数項を入れます。
- ［解く］を押して、部分ピボット選択付きのガウス・ジョルダン消去を実行します。
- 解は「解」パネルから確認します。各変数に一意の値が表示されていれば、それが答えです。
- 下の RREF 行列を見て、代数的な構造を理解したり計算を検算したりできます。
よくある質問
ガウス・ジョルダン消去法とは何ですか？
ガウス・ジョルダン消去法は、拡大係数行列を簡約行階段形（RREF）まで落とし切るガウス消去法の拡張です。後退代入が必要なガウス消去法と違い、解をそのまま読み取れる行列を得られます。
簡約行階段形（RREF）とは何ですか？
各先頭成分（ピボット）が 1 で、ピボット列の他の要素がすべて 0、かつピボットが左から右へ下がる形になっている行列が RREF です。RREF は任意の行列に対して一意で、連立方程式の解を直接表します。
方程式系に解がないとはどういう意味ですか？
消去の結果、[0 0 ... 0 | k] の形で k が 0 でない行が現れると、その方程式系は不整合です。これは方程式同士が矛盾しており、すべてを同時に満たす点が存在しないことを意味します。
方程式系に無数の解があるとはどういう意味ですか？
RREF のピボット数が変数数より少なく、自由変数が残ると無数の解が生じます。各自由変数は任意の実数を取れるため、解は無限個の族になります。解集合は直線、平面、あるいはそれ以上の次元の部分空間になります。
部分ピボット選択とは何ですか？ なぜ使うのですか？
部分ピボット選択では、現在の列で絶対値が最大の要素をピボットにするように行を入れ替えます。これにより、非常に小さい数で割ることによる数値誤差を減らし、浮動小数点計算での安定性が向上します。
この方法で行列の逆行列を求められますか？
はい。n×n 行列 A の逆行列を求めるには、n×n の単位行列を付けて [A | I] を作り、ガウス・ジョルダン消去法を適用します。A が可逆なら結果は [I | A^-1] となり、逆行列を直接得られます。この計算機は拡大方程式系を対象にしていますが、同じ行操作を使っています。