複素数の根計算機 - ド・モアブルの定理で n 乗根

0 でない複素数には必ず n 個の異なる n 乗根があり、この計算機は複素数の極形式とド・モアブルの定理を使ってそれらを一度に求めます。複素数 z = a + bi に対して、絶対値は r = √(a² + b²)、偏角は θ = atan2(b, a) です。極形式では z = r(cosθ + i·sinθ) と書け、n 個の n 乗根は z_k = r^(1/n) · (cos((θ + 2πk)/n) + i·sin((θ + 2πk)/n)) で、k = 0, 1, …, n − 1 です。 幾何学的には、n 個の根は複素平面上の原点中心、半径 r^(1/n) の円周上に並び、互いに 2π/n ラジアンずつ離れています。k = 0 の根は主根と呼ばれ、正の実軸に最も近く（偏角は θ/n）、原点のまわりに 2π/n 回転させると次の根へ移ります。これが、1 の n 乗根が単位円に内接する正 n 角形を作る理由です。 複素数の根は単なる代数の話ではありません。電気工学では、1 の n 乗根が三相電力系のフェーザを表し、デジタル信号処理の離散フーリエ変換の基礎になります。制御理論では、複素平面上の根の位置が線形システムの安定性を決めます。量子力学では、複素振幅とその根が波動関数や周期ポテンシャルの解析に現れます。純粋数学でも、1 の n 乗根は円分体を生成し、現代代数学の中心的対象です。 よくある誤解は、複素数には根が 1 つしかない、あるいは −1 の平方根は i だけだというものです。実際には −1 には i と −i の 2 つの平方根があり、1 にはすべての正整数 n に対して n 個の異なる n 乗根があります。計算機はそれらを a_k + b_k·i の形でまとめて表示し、見やすいように小数点以下を一定桁に丸めます。実数入力で偶数次数の根では共役複素数の組になり、n が奇数で入力が負の実軸上にある場合は、ちょうど 1 つの根が実数かつ負になります。 z^n = w を解く必要があるとき、複素数範囲で多項式を因数分解したいとき、1 の根を調べたいとき、あるいは複素解析や工学数学の宿題を確認したいときに、この複素数の根計算機を使ってください。