円の定理計算機 - 円周角と内接四角形

円の定理は、円に関連する角、弧、線分の関係を表すユークリッド幾何の基本結果の集まりです。座標幾何や三角法を使わずに幾何問題を解ける強力な道具であり、世界中の中等教育の数学で欠かせない内容になっています。 最もよく使われるのが円周角の定理です。これは、円周角——頂点が円上にあり、両辺が 2 本の弦である角——が、同じ弧に対する中心角のちょうど半分になるという定理です。言い換えると、同じ弧に対する円周角はすべて等しくなります。この定理によって、円の中の角度の問題は単純な 2 で割る・掛ける計算に変わります。 タレスの定理は最も古く、かつ美しい特例です。円周角が見込む弦が円の直径であるとき、その円周角は常に 90° になります。つまり、直径の 2 つの端点がわかれば、円周上のどの点でもその 2 点と作る角は直角です。タレスの定理は実用幾何でも円の中心を求めるのに使えます。同じ弦上に作られた 2 つの直角から直径を特定できます。 円に内接する四角形の定理は、この考えを 4 辺の図形へ拡張します。四角形が円に内接する、つまり 4 つの頂点が同じ円上にあるのは、その対角の和が 180° のとき、かつそのときに限ります。この性質は、4 点が同一円周上にあるかどうかの判定や、図形の未知角の計算に使われます。 接線と弦の角の定理では、円の接線と接点から引いた弦のなす角が、切り取る弧の半分になると述べます。これは円周角の定理と対応していますが、ここでは 2 本目の弦の代わりに接線を使います。互いに接する円や、直線に接する円の問題で特に有用です。 この計算機は 5 種類の定理を実装しています: 円周角、中心角（円周角の逆）、半円における角（タレス）、円に内接する四角形、接線と弦の角です。それぞれ、既知の値を入力すると、対応する定理を適用して未知数を求めます。結果には使った定理の簡単な説明も含まれるので、計算と同時に幾何を学べます。 入力と出力の角度はすべて度数法です。計算機は、入力が意味のある範囲にあるかを検証します。たとえば中心角は 0° から 360° の間でなければならず、円に内接する四角形の既知角は 0° から 180° の間でなければなりません。これらの範囲を外れた結果は、有効な幾何構成ではなく入力エラーを示します。