二倍角公式計算機
二倍角の公式を使って sin(2x)、cos(2x)、tan(2x) を計算。角度を度数法またはラジアンで入力するとすぐに結果が出ます。
角度を入力し、単位を選び、表示したい二倍角公式を選択してください。
二倍角公式計算機
二倍角の公式を使って sin(2x)、cos(2x)、tan(2x) を計算。角度を度数法またはラジアンで入力するとすぐに結果が出ます。
二倍角公式計算機について
二倍角の公式は、sin(2x)、cos(2x)、tan(2x) を sin(x) と cos(x) で表す三角恒等式です。三角学、微積分、物理、工学でよく使われ、三角関数の引数を 2 分の 1 にできるため便利です。
基本となる二倍角の恒等式は、sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)、cos(2x) = cos²(x) − sin²(x)（これは 2cos²(x) − 1 や 1 − 2sin²(x) とも書けます）、そして tan(2x) = 2tan(x) / (1 − tan²(x)) です。cos(2x) = 0 のとき、つまり 2x = 90°、270° などでは tan(2x) は未定義になります。
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) は、加法定理 sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) に a = b = x を代入するとそのまま得られます。同様に cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b) に同じく x を代入すると、cos(2x) = cos²(x) − sin²(x) が導けます。さらに、ピタゴラスの恒等式 sin²(x) + cos²(x) = 1 を使えば、sin²(x) = 1 − cos²(x) として cos(2x) = 2cos²(x) − 1、または cos²(x) = 1 − sin²(x) として cos(2x) = 1 − 2sin²(x) に変形できます。これら 3 つの形は同値で、状況に応じて使い分けられます。
微積分では、二倍角の公式は sin と cos の積の積分を簡単にします。たとえば、sin(x)cos(x) は (1/2)sin(2x) と見なせるので、積分が容易になります。同様に、sin²(x) や cos²(x) の積分も、二倍角の cos 公式から導いた半角形を使って扱えます。
物理では、波動、光学、力学に二倍角の恒等式が現れます。投射運動の射程公式 R = (v²/g)sin(2θ) は sin の二倍角を使って、最大射程を発射角の関数として表します。干渉縞、単振動、回転機械でも三角関数の組み合わせがよく現れ、二倍角の恒等式が解析を簡単にします。
この計算機は度数法でもラジアンでも任意の角度を受け付けます。入力は内部でラジアンに変換され、sin(x) と cos(x) を計算したうえで恒等式を適用し、sin(2x)、cos(2x)、tan(2x) を求めます。tan(2x) が未定義の場合（つまり二倍角が 90° の奇数倍のとき）は、大きな誤解を招く数値ではなく、明確に「未定義」と表示します。結果は精度を保つため 10 桁の有効数字で表示されます。
二倍角の例
よく使う基準角と、その正確値または高精度の二倍角の値。
| 角度 (x) | sin(2x) / cos(2x) / tan(2x) | 備考 |
|---|---|---|
| x = 30° | sin(60°) = 0.866, cos(60°) = 0.5, tan(60°) = 1.732 | sin(2×30°) = 2 sin30° cos30° = 2 × 0.5 × 0.866 = 0.866。代表的な基準角で、正確値が求まります。 |
| x = 45° | sin(90°) = 1, cos(90°) = 0, tan(90°) = 未定義 | 45° を 2 倍すると 90° です。sin(90°) = 1、cos(90°) = 0。cos(90°) = 0 のため tan は未定義です。 |
| x = 60° | sin(120°) = 0.866, cos(120°) = −0.5, tan(120°) = −1.732 | 二倍角 120° は第 2 象限にあり、sin は正、cos は負、tan も負になります。 |
| x = π/6 rad (≈ 0.5236) | sin(π/3) ≈ 0.866, cos(π/3) = 0.5, tan(π/3) ≈ 1.732 | π/6 ラジアンは 30° に相当します。結果は最初の例と同じで、単位変換が正しいことを確認できます。 |
二倍角公式計算機の使い方
- 角度欄に x の値を入力します。正の数、負の数、0 のいずれも入力できます。
- 単位を選択します。30°、45°、60° のような角度は「度」、π/6 のような値は「ラジアン」を選びます。
- 公式の種類を選択します。「すべての公式」を選ぶと sin(2x)、cos(2x)、tan(2x) を表示します。1 つだけ欲しい場合は単独の公式を選べます。
- ［計算］をクリックします。結果パネルに選択した公式の値が表示され、必要に応じて tan(2x) は「未定義」と表示されます。
- ［リセット］をクリックして入力を消すか、角度と単位を変えて別の値を確認してください。
二倍角公式のよくある質問
sin の二倍角の公式は？
sin の二倍角の公式は sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) です。加法定理 sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) に a = b = x を代入して導けます。積分、物理、信号処理でよく使われます。
cos の二倍角の公式に 3 つの形があるのはなぜですか？
cos(2x) = cos²x − sin²x、cos(2x) = 2cos²x − 1、cos(2x) = 1 − 2sin²x の 3 つはすべて同値です。最初の形は cos の加法定理から直接得られ、残り 2 つは sin²x + cos²x = 1 を代入して導きます。用途によって使い分けられます。
tan(2x) はいつ未定義になりますか？
cos(2x) = 0 のとき tan(2x) は未定義です。これは 2x = 90° + 180°k（k は任意の整数）のとき、つまり x = 45° + 90°k のときに起こります。この角度では tan(2x) = 2tan(x)/(1 − tan²x) が 0 除算になり、tan 自体も ±∞ に近づきます。
二倍角の公式は微積分でどう使いますか？
二倍角の公式は、三角関数の冪の積分を求めるときに重要です。たとえば ∫sin²(x)dx = ∫(1 − cos(2x))/2 dx となり、すぐに積分できます。これらの恒等式がないと、こうした積分はずっと複雑になります。
二倍角の公式は負の角にも使えますか？
はい。sin と cos はすべての実数で定義されるので、二倍角の公式は負の角にも使えます。たとえば sin(2 × (−30°)) = sin(−60°) = −sin(60°) ≈ −0.866 です。この計算機は任意の実数を角度として受け付けます。
二倍角の公式と半角公式の関係は？
半角公式は、二倍角の公式の x を x/2 に置き換えて導きます。たとえば cos(2x) = 1 − 2sin²x に x → x/2 を代入すると cos(x) = 1 − 2sin²(x/2) となり、整理して sin²(x/2) = (1 − cos x)/2 が得られます。半角公式は、なじみのある基準角の半分の値を求めるときに役立ちます。