デカルトの符号法則計算機

デカルトの符号法則は代数学の古典的な定理で、1637 年のレネ・デカルトの著作『幾何学』で初めて公表されました。この法則は、多項式の係数の符号を見るだけで、正の実根と負の実根の個数の上限をすばやく与えてくれます。根そのものを求める必要はありません。 正の実根については、実係数多項式 f(x) の正の実根の数は、非零係数の並びにおける符号変化の回数と等しいか、その回数から偶数だけ少ない数になります。2 つ減るごとに、実根 2 個の代わりに複素共役根の組 1 組が入ったと考えます。 負の実根を調べるには、x を −x に置き換えて f(−x) を作り、その係数列の符号変化を数えます。その回数が、元の多項式の負の実根の最大数を表し、同様に偶数だけ少なくなることがあります。 例として f(x) = x³ − 2x² + 5x − 3 を考えます。係数は 1, −2, 5, −3 です。符号を見ると +, −, +, − なので、符号変化は 3 回（+→−、−→+、+→−）です。したがって f(x) の正の実根は 3 個または 1 個です。f(−x) = −x³ − 2x² − 5x − 3 では符号が −, −, −, − となり、符号変化は 0 回なので負の実根も 0 個です。 重要な注意点として、符号変化を数えるときは 0 の係数（多項式に存在しない項）を無視します。符号列に含めるのは非零係数だけです。つまり x⁴ − x² + 1 は [1, −1, 1] として扱い、[1, 0, −1, 0, 1] とは数えません。 この法則が強力なのは、計算が非常に簡単だからです。符号を見るだけでよく、根を計算する必要がありません。そのため、多項式解析の最初の一歩として理想的です。もし法則から正の根が高々 1 個だと分かれば、数値的な求根をそこに絞れます。 ただし、この法則が示すのは上限だけで、正確な個数ではありません。複素共役根が実根の組を「置き換える」ことがあるため、実際の正の根や負の根は最大値より少なくなることがあります。また、根の大きさや重複度については何も分からず、複素根も検出できません。 実務では、デカルトの符号法則は有理根定理、シュトルムの定理、数値計算法などと組み合わせて使われます。工学では制御系の安定性解析、経済学では市場モデルの均衡数の上限推定、数学教育では多項式の代数的構造と幾何学的挙動を結び付ける教材として活用されています。