コレスキー分解計算機 - 正定値行列の因子分解

Cholesky 分解は、数値線形代数において最も重要な行列分解の1つです。対称正定値行列 A が与えられると、この分解は対角要素が厳密に正の一意な下三角行列 L を生成し、A = L·Lᵀ を満たします。このアルゴリズムはフランス軍砲兵将校 André-Louis Cholesky（1875–1918）に帰され、1924年に死後発表されて以来、科学計算の礎となっています。 この計算機で使われる Cholesky-Banachiewicz アルゴリズムは列ごとに進みます。各対角要素については、A の対応する対角要素から同じ行のそれ以前の要素の二乗和を引き、その後で平方根を取ります。対角線より下の非対角要素については、すでに計算済みの要素の内積を引いてから現在の対角要素で割ります。n×n 行列に対する計算量はおよそ n³/6 回の乗算であり、対称正定値入力に対して一般的な LU 分解の約2倍高速です。 最も重要な前提は、行列が対称かつ正定値であることです。対称性とは、すべての (i, j) について A[i][j] = A[j][i] であることを意味します。正定値とは、任意の 0 でない実ベクトル x に対して xᵀAx > 0 であることを意味し、これはすべての固有値が厳密に正であることと同値です。Cholesky アルゴリズムでは、正定値でないと非正の数の平方根を取ろうとして失敗し、この計算機はその点をチェックします。 統計学では、共分散行列は常に対称かつ半正定値です。2つの変数が完全に多重共線でなければ、それらは厳密に正定値となり、Cholesky 分解をそのまま適用できます。この分解は多変量正規乱数の生成に使われます。z が独立な標準正規変数のベクトルなら、L·z の共分散行列は A になります。この手法は、相関のある金融資産のモンテカルロシミュレーション、気候モデルのアンサンブル、構造信頼性解析を支えています。 機械学習では、ガウス過程回帰やベイズニューラルネットワークが、カーネル行列の逆行列や対数行列式を効率よく求めるために Cholesky 分解に大きく依存しています。A の対数行列式は L の対角要素の対数の総和の2倍に等しく、行列式を直接計算する際の数値的不安定性を回避できます。カルマンフィルタの実装では、いわゆる平方根カルマンフィルタが使われ、共分散そのものではなく共分散行列の Cholesky 因子を伝播させることで、長期にわたる推定問題で数値安定性を大きく向上させます。 この計算機は 2×2、3×3、4×4 の行列に対応しています。これらは教室での演習、小規模な数値解析問題、数値アルゴリズムの試作で最もよく使われるサイズです。より大きな行列にも同じアルゴリズムが適用でき、現代のハードウェアでは BLAS のレベル3演算を用いて効率的に実装できます。宿題の確認、手計算の分解の検証、正定値行列の性質の探索のいずれであっても、このツールは即座に正確な Cholesky 因子を提供します。