部分分数分解計算機
任意の真有理式を、より簡単な部分分数の和に分解します。分子と分母の多項式を入力すると、完全な分解をすぐに得られます。
標準的な表記で多項式を入力してください（例: x^2 + 3x + 2）。分子の次数は分母の次数より小さくなければなりません。
部分分数分解計算機
任意の真有理式を、より簡単な部分分数の和に分解します。分子と分母の多項式を入力すると、完全な分解をすぐに得られます。
部分分数分解計算機について
部分分数分解は、有理式——つまり分子と分母の両方が多項式である分数——を、より簡単な分数の和として書き直す代数的手法です。これは通分の逆で、分数を足し合わせる代わりに、1 つの複雑な分数を分解します。こうして得られる各項は、積分、ラプラス逆変換、その他の操作をずっと簡単に計算できます。
代数学の基本定理により、実数係数の任意の多項式は、実根に対応する一次因子 (x − r) と、既約二次因子 (x² + px + q) の積に分解できます。部分分数分解では、まず分母を因数分解し、元の式をそれらの因子を分母にもつ項の和として表します。異なる一次因子 (x − r) に対しては A/(x − r) の形になります。重複一次因子 (x − r)ⁿ では n 個の項が必要で、A₁/(x − r) + A₂/(x − r)² + … + Aₙ/(x − r)ⁿ となります。既約二次因子 (x² + px + q) には (Ax + B)/(x² + px + q) を用います。
定数は未定係数法で求めます。分解した等式の両辺に分母を掛けて分数を消し、根を代入するか（一次因子の根を使うと 1 項以外が 0 になります）、x の同じ次数の係数を比較して連立方程式を立てます。これを解くと各定数の正確な値が得られます。
部分分数は積分学で不可欠です。1/(x − r) の積分は ln|x − r|、1/(x − r)² の積分は −1/(x − r) で、どちらも初等関数で計算できます。分解しないと、(5x − 4)/(x² − x − 2) のような式では気づきにくい置換を見つける必要がありますが、分解すれば 2/(x − 2) + 3/(x + 1) となり、それぞれをそのまま積分できます。
微積分以外でも、部分分数は制御工学で伝達関数のラプラス逆変換を行ってシステムの時間応答を求めるとき、信号処理でデジタルフィルタの z 変換表現を解析するとき、さらに代数で複雑な有理式を簡約するときに現れます。未知定数の連立方程式を立てて解く方法を理解することが核心であり、この計算機はその全手順を表示して、考え方を追えるようにします。
部分分数分解の例
ここでは、異なる一次因子、三次分母、定数分子の例を示します。
| 有理式 | 分解 | 重要な観察 |
|---|---|---|
| (5x − 4) / (x² − x − 2) | 2/(x − 2) + 3/(x + 1) | 分母は (x − 2)(x + 1) に因数分解できる。2 つの異なる一次因子なので、カバーアップ法で A = 2、B = 3。 |
| (x² + 12x + 12) / (x³ − 4x) | −3/x + 2/(x − 2) + 2/(x + 2) | 分母 = x(x − 2)(x + 2)。x = 0、2、−2 を代入して定数を求める。 |
| 1 / (x² + x) | 1/x − 1/(x + 1) | 分母 = x(x + 1)。分子が定数なので、代入により A = 1、B = −1。 |
| (8x² − 3x + 10) / (x³ − 2x² + 4x − 8) | 3/(x − 2) + (5x + 2)/(x² + 4) | 分母 = (x − 2)(x² + 4)。一次因子 + 既約二次因子。 |
部分分数分解計算機の使い方
- 「分子 P(x)」欄に、5x - 4 や x^2 + 3 のような標準表記で分子の多項式を入力します。
- 「分母 Q(x)」欄に、x^2 - x - 2 などの分母の多項式を入力します。
- 分子の次数が分母の次数より厳密に小さいことを確認してください。そうでない場合は、先に多項式の割り算を行います。
- 「計算」をクリックします。計算機が分母を因数分解し、ヘヴィサイドのカバーアップ法で全ての定数を求めます。
- 「リセット」をクリックすると両方の欄が消去され、新しい分解を始められます。
部分分数分解 FAQ
部分分数分解とは何ですか？
部分分数分解は、有理式 P(x)/Q(x) を、分母が Q(x) の因子になっているより簡単な分数の和に書き直す方法です。通分の逆であり、積分や逆変換を非常に扱いやすくします。
いつ部分分数を使えますか？
部分分数は、真有理関数、つまり分子の次数が分母の次数より厳密に小さい式で使えます。もし式が偽分数（分子の次数 ≥ 分母の次数）なら、まず割り算をして多項式と真分数の余りに分け、その余りだけを分解します。
A、B、C の定数はどう求めますか？
まず両辺に因数分解済みの分母を掛けて分数を消し、その後、定数を求めます。最速なのは各一次因子の根を x に代入する方法です（各根は 1 項を除く他の項を 0 にします）。既約二次因子では、展開して同じ次数の係数を比較します。
分母に重複因子がある場合は？
重複一次因子 (x − r)ⁿ には n 個の別々の項が必要です: A₁/(x − r) + A₂/(x − r)² + … + Aₙ/(x − r)ⁿ。各べき乗ごとに独立した未知定数が増えるため、通常は展開して係数を合わせて解きます。
なぜ既約二次因子には一次の分子 (Ax + B) を使うのですか？
既約二次因子 x² + px + q は、実数の範囲では一次因子に分解できません。その部分分数の分子は分母より 1 次低い必要があるため、(Ax + B)/(x² + px + q) という形になり、未知定数は A と B の 2 つになります。
部分分数の主な用途は何ですか？
最も一般的なのは微積分での積分です。A/(x − r) のような単純な分数は A·ln|x − r| に積分でき、難しい積分を扱いやすくします。部分分数は工学でも重要で、伝達関数のラプラス逆変換やデジタルフィルタの z 逆変換に使われます。