Delta-V計算機
ツィオルコフスキーのロケット方程式を使い、LEO投入から惑星間遷移まで、宇宙ミッションに必要な速度変化を計算します。
初期質量、燃焼後の最終質量、排気速度を入力して、delta-v、消費燃料、比推力を計算します。
Delta-V計算機
ツィオルコフスキーのロケット方程式を使い、LEO投入から惑星間遷移まで、宇宙ミッションに必要な速度変化を計算します。
Delta-V計算機について
Delta-v（Δv と表記）は、軌道力学でもっとも重要な単一の量です。これは、宇宙機がミッション全体で達成しなければならない総速度変化を表します。地球の重力圏を脱出する場合、円軌道に入る場合、軌道間を遷移する場合、あるいは惑星着陸のために減速する場合のいずれにも関係します。宇宙空間で速度を変えるには推進剤が必要なため、ミッション設計者は delta-v を予算として考えます。総 delta-v 要求が大きいほど、ロケットはより多くの推進剤を搭載しなければならず、ミッションは重く高価になります。
1903年にコンスタンチン・ツィオルコフスキーが発表したツィオルコフスキーのロケット方程式は、すべての delta-v 計算の数学的基礎です。式は ΔV = Ve × ln(m₀ / mf) で、Ve は推進剤の有効排気速度（メートル毎秒）、m₀ は宇宙機の初期湿質量（すべての推進剤を含む）、mf は最終乾質量（推進剤を使い切った後）です。質量比 m₀/mf の自然対数が含まれるため、delta-v を2倍にするには指数関数的に大きな質量比が必要になります。これがロケット推進の根本的な難しさであり、高 delta-v ミッションで多段ロケットが使われる理由です。
排気速度 Ve は、Ve = Isp × g₀ という関係で比推力 Isp と密接に結び付いています。ここで g₀ = 9.80665 m/s² は地球表面での標準重力加速度です。比推力は秒で測定され、推進剤に依存しないエンジン効率の指標になります。液体水素と液体酸素を燃焼する化学ロケットは Isp ≈ 450 s（Ve ≈ 4,415 m/s）を達成し、イオンスラスターは非常に低い推力と引き換えに Isp > 3,000 s に達します。Isp が高いほど同じ delta-v に必要な推進剤が少なくなるため、宇宙機設計者は高性能エンジンに大きく投資します。
典型的な delta-v 予算は、宇宙航行の規模をよく示しています。地上から低軌道 (LEO) に到達するには約 9,400 m/s が必要で、その多くは上昇中の大気抵抗と重力損失に費やされます。LEO から静止軌道 (GEO) へのホーマン遷移には約 3,900 m/s、LEO からの地球–火星遷移にはおよそ 3,600 m/s、月周回軌道から月面に着陸するには約 1,900 m/s が必要です。これらの値はすぐに積み上がるため、ペイロードや構造質量が1 kg増えるだけでも、ロケット方程式を通じて必要推進剤が大きく増えます。
この計算機は、初期質量、最終質量、排気速度という3つの主要入力を受け取り、m/s と km/s の delta-v、消費燃料質量、質量比、等価比推力を返します。これらの結果は、概略のミッション計画、推進システムの比較、軌道計算ソフトウェア出力の確認に役立ちます。
Delta-V計算機の例
衛星マヌーバから惑星間遷移まで、現実的なミッションシナリオ。
| ミッション / 入力 | Delta-V | 注記 |
|---|---|---|
| LEO投入：m₀ = 1000 kg、mf = 300 kg、Ve = 3000 m/s | ΔV ≈ 3611 m/s | 質量比 = 3.33；ln(3.33) × 3000。ペイロードをサブオービタル軌道から高度 200 km の円軌道へ押し上げるために必要な推進剤割合を表します。 |
| GEO遷移：m₀ = 500 kg、mf = 200 kg、Ve = 3200 m/s | ΔV ≈ 2929 m/s | 質量比 = 2.5；ln(2.5) × 3200。ホーマン遷移軌道から静止高度で円軌道化する典型的なアポジキックモーター燃焼です。 |
| 火星遷移：m₀ = 2000 kg、mf = 800 kg、Ve = 3500 m/s | ΔV ≈ 3211 m/s | 質量比 = 2.5；ln(2.5) × 3500。地球軌道を離れ、火星へ向かう最小エネルギー軌道に入るためのおおよその火星遷移投入燃焼です。 |
| 衛星マヌーバ：m₀ = 100 kg、mf = 95 kg、Ve = 2800 m/s | ΔV ≈ 144 m/s | 小さな質量比 = 1.053；ln(1.053) × 2800。小型地球観測衛星で典型的な軌道保持または軌道修正燃焼です。 |
Delta-V計算機の使い方
- 宇宙機の初期（湿）質量をキログラムで入力します。これは、その燃焼のために搭載されたすべての推進剤を含む総質量です。
- 最終（乾）質量をキログラムで入力します。これは、推進剤を使い切った後に残る質量です。
- エンジンの有効排気速度を m/s で入力します。比推力（秒単位の Isp）だけが分かっている場合は、9.80665 を掛けると排気速度になります。
- 計算をクリックします。結果には、m/s と km/s の delta-v、消費燃料質量、質量比、等価比推力が表示されます。
- リセットをクリックすると、すべての値を消去して新しい計算を始められます。
Delta-V計算機 FAQ
delta-vとは何で、なぜ重要ですか？
Delta-v は、宇宙機が推進によって達成しなければならない総速度変化です。これはミッションに必要な推進剤量を決定します。ロケット方程式は指数関数的であるため、delta-v 要求が 1 m/s 増えるごとに必要推進剤質量が増幅され、delta-v はすべてのロケットミッションにおける中心的な設計要因になります。
比推力を排気速度に変換するには？
Isp（秒）に標準重力 g₀ = 9.80665 m/s² を掛けます。たとえば Isp = 311 s のエンジンは、排気速度が 311 × 9.80665 ≈ 3050 m/s です。逆に、排気速度を g₀ で割ると比推力が得られます。
なぜロケット方程式は自然対数を使うのですか？
ロケットが推進剤を燃焼すると質量は連続的に減少し、噴射される小さな質量ごとに、軽くなった機体にはわずかに大きな加速度が生じます。この時間とともに変化する加速度を積分すると、対数関係が得られます。その結果、delta-v を2倍にするには質量比を2乗する必要があり、高 Δv ミッションはきわめて推進剤集約的になります。
一般的な宇宙ミッションの典型的な delta-v はどのくらいですか？
地上から低軌道に到達するには、重力損失と抗力損失を含めて ≈9,400 m/s が必要です。LEO から GEO への遷移は ≈3,900 m/s。LEO から地球–火星遷移は ≈3,600 m/s。月周回軌道からの月面着陸は ≈1,900 m/s です。これらの数値は、ペイロードが少し増えただけでも不釣り合いに大きなロケットが必要になる理由を示しています。
この計算機は複数回の燃焼に対応できますか？
複数回燃焼のミッションでは、各燃焼を個別に計算し、delta-v の値を合計します。ミッション総 delta-v は、すべての個別燃焼の算術和です。各燃焼では、その燃焼開始時の宇宙機質量を初期質量として使います。この方法で、各段または各マヌーバの推進剤予算が分かります。
質量比とは何で、典型的な値はどのくらいですか？
質量比は m₀/mf、つまり初期質量を最終質量で割ったものです。比が 2 なら、初期質量の半分が推進剤だったことを意味します。LEO に到達する化学ロケットには約 8–10 の質量比が必要で、そのため多段ロケットが使われます。イオン推進の深宇宙探査機は排気速度が非常に高いため、同じ delta-v をはるかに低い質量比で達成できます。