ボーア模型計算機：原子構造と電子の性質

ボーア模型は、デンマークの物理学者ニールス・ボーアが 1913 年に提唱したもので、原子構造を量子論的に記述し、水素スペクトルの説明に初めて成功しました。その後、より厳密な量子力学モデルに置き換えられましたが、ボーア模型は今でも重要な教育用ツールであり、原子番号 Z をもつ 1 個の電子が核のまわりを回る水素様イオンには正確な結果を与えます。 ボーア模型の核心は 2 つの公理です。第一に、電子は許された特定の円軌道、すなわち定常状態の中でのみ核のまわりを回り、その間はエネルギーを放射しません。第二に、電子は 2 つのエネルギー準位の差に等しいエネルギーの光子を吸収または放出することで、これらの軌道の間を移ります。これら 2 つの考え方が、原子物理に量子化されたエネルギー状態の概念を導入し、現代量子力学の基礎を築きました。 水素様原子の第 n 準位のエネルギーは E_n = −13.6 × Z² / n² eV で与えられます。ここで Z は原子番号、n は主量子数（n = 1, 2, 3, …）です。負号は電子が原子核に束縛されていることを表し、より負でないエネルギーほど、より高く束縛の弱い軌道を意味します。水素の基底状態（Z = 1, n = 1）のエネルギーは −13.6 eV で、第一励起状態（n = 2）は −3.4 eV です。 軌道半径は r_n = a₀ × n² / Z に従い、ここで a₀ = 5.292 × 10⁻¹¹ m はボーア半径、すなわち水素基底状態での電子と陽子の最確距離です。高い殻ほど n² に比例して半径が急速に大きくなり、励起電子はより大きな軌道を占めます。各軌道の電子速度は v_n = α × c × Z / n に従って n とともに減少し、ここで α ≈ 1/137 は微細構造定数、c は光速です。 エネルギーと半径に加えて、ボーア模型は電子のド・ブロイ波長 λ = h / (m_e × v)、軌道周期 T = 2π r / v、そしてより完全な量子力学的描像の中で軌道の形と向きを記述する許容された軌道量子数 (l) と磁気量子数 (m) も計算できます。 この計算機はこれらの関係をすべて実装しており、原子物理、分光学、量子化学などを学ぶ学生に役立ちます。原子番号 Z（陽子数）と主量子数 n を入力すると、エネルギー、半径、速度、波長をすぐに得られます。任意の軌道量子数 l と磁気量子数 m を入力すれば、特定の殻内の量子状態をさらに詳しく指定できます。