Calculateur de nombres complexes

Un nombre complexe associe une partie réelle et une partie imaginaire sous la forme a + bi, où i² = -1. Le coefficient réel a situe le nombre horizontalement dans le plan complexe, tandis que le coefficient imaginaire b le situe verticalement. Les nombres complexes étendent le système des réels afin que des équations comme x² + 1 = 0 aient des solutions. Ils offrent aussi un langage compact pour les oscillations, les rotations, l'impédance électrique, les ondes et bien d'autres modèles mathématiques. L'addition et la soustraction se font composante par composante. Pour additionner a + bi et c + di, additionnez a à c et b à d. La soustraction suit la même structure avec des différences. Cela ressemble à l'addition ou à la soustraction de vecteurs bidimensionnels. Séparer les termes réels et imaginaires en deux colonnes est une méthode fiable pour éviter les erreurs de signe, surtout lorsque des coefficients sont négatifs. La multiplication utilise la distributivité habituelle avec i² = -1. Développer (a + bi)(c + di) donne ac + adi + bci + bdi². En remplaçant i² par -1 et en regroupant les termes, on obtient la partie réelle ac - bd et la partie imaginaire ad + bc. La multiplication possède aussi une interprétation géométrique : les modules se multiplient et les arguments s'ajoutent. Elle combine donc un changement d'échelle et une rotation dans le plan complexe. La division rend le dénominateur réel à l'aide de son conjugué. Multiplier le numérateur et le dénominateur de (a + bi)/(c + di) par c - di transforme le dénominateur en c² + d². La partie réelle du résultat est (ac + bd)/(c² + d²) et sa partie imaginaire est (bc - ad)/(c² + d²). La division n'est pas définie lorsque c et d sont tous deux nuls, car le carré du module du dénominateur est alors nul. Le calculateur accepte les entiers, les nombres négatifs et les décimales pour les quatre coefficients. Les résultats sont calculés en double précision et arrondis à huit décimales pour l'affichage. Les très petits résidus de calcul en virgule flottante sont affichés comme zéro. La réponse reste sous forme algébrique pour rendre immédiatement visibles les composantes réelle et imaginaire. Les signes sont formatés automatiquement, notamment le signe moins lorsque la partie imaginaire est négative. Le calcul complexe intervient en algèbre, en automatique, en télécommunications, en mécanique quantique, en dynamique des fluides et en traitement du signal. Même si un logiciel effectue le calcul, comprendre les formules par composantes aide à interpréter le résultat et à repérer les erreurs. Utilisez l'explication sous chaque réponse comme rappel succinct de la règle, et vérifiez les divisions importantes en multipliant le quotient par le diviseur initial.