Calculadora de serie armónica

La serie armónica se forma sumando los recíprocos de los enteros positivos: uno, un medio, un tercio, un cuarto, etc. La suma finita hasta el recíproco enésimo se llama número armónico enésimo y suele escribirse como H con subíndice n. Esta calculadora evalúa esa suma directamente, conservando la aportación de cada término hasta el límite solicitado. Para calcular un número armónico, empieza en cero y suma uno dividido entre cada entero desde uno hasta n. Con cinco términos, el cálculo es 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5, aproximadamente 2.2833333333. Con diez términos, el resultado es aproximadamente 2.9289682540. Cada nuevo término es menor que el anterior, por lo que las sumas parciales crecen de forma continua, pero cada vez más despacio. Aunque cada fracción añadida se acerca a cero, la serie armónica infinita diverge. Sus sumas parciales no tienen una cota superior finita. Este resultado clásico muestra que los términos que tienden a cero son una condición necesaria, pero no suficiente, para que una serie infinita converja. El crecimiento es logarítmico: alcanzar totales mucho mayores exige una cantidad enormemente mayor de términos. El número armónico se aproxima al logaritmo natural de n más la constante de Euler-Mascheroni, de valor aproximado 0.57721. Comparaciones integrales sencillas permiten comprobar el resultado finito exacto. El logaritmo natural de n más uno es menor que el número armónico enésimo, y este es menor que uno más el logaritmo natural de n. La calculadora muestra estas cotas inferior y superior. Son relativamente más ajustadas cuando n crece y ayudan a explicar el patrón logarítmico sin sustituir la suma directa. Los números armónicos aparecen en muchas áreas de matemáticas e informática. Describen costos esperados de algoritmos aleatorizados, el número medio de comparaciones en algunas estructuras de datos, el problema del coleccionista de cupones, sumas de divisores y modelos probabilísticos. En física e ingeniería, sumas recíprocas relacionadas aparecen en resonancia y análisis de señales. En música, la palabra armónico tiene otro uso; esta calculadora trata la serie matemática de recíprocos, no las frecuencias armónicas acústicas. Introduce un entero positivo no mayor que un millón. La suma se muestra con diez decimales y se calcula con aritmética de doble precisión de JavaScript. Para índices extremadamente grandes, aproximaciones especializadas pueden ser más rápidas y controlar mejor el error de coma flotante. Dentro del intervalo indicado, la suma directa ofrece un resultado educativo transparente y fiable.