时间膨胀计算器

使用爱因斯坦狭义相对论计算相对论时间膨胀

输入运动参考系的速度、运动观察者经历的固有时间，以及光速，即可计算静止参考系中观察到的膨胀后时间、洛伦兹因子 γ 和时间差。

时间膨胀计算器
使用爱因斯坦狭义相对论计算相对论时间膨胀

关于时间膨胀计算器

时间膨胀是爱因斯坦于 1905 年发表的狭义相对论中最反直觉、但又被实验充分证实的预言之一。它告诉我们时间并不是绝对的：时钟走动的速率取决于它相对于观察者运动得有多快。相对于静止观察者以速度 v 运动的时钟，会按洛伦兹因子 γ = 1 / √(1 − v²/c²) 变慢，其中 c 是真空中的光速。 核心公式是 t′ = γ × t₀，其中 t₀ 是固有时间——即运动时钟自身记录的时间——而 t′ 是静止观察者记录的坐标时间。因为 γ 始终 ≥ 1，静止观察者测得的时间间隔总是比运动时钟显示的更长。时间差 Δt = t′ − t₀ 在 v = 0 时为零，并随着 v 接近 c 而无限增大。 在日常速度下——即使是国际空间站约 7.9 km/s 的速度——洛伦兹因子与 1 的差别也只在小数点后第十位，因此在日常生活中几乎察觉不到。但在精密计量和卫星导航领域，这些微小差异就非常重要。GPS 卫星以约 3.87 km/s 的速度绕地运行；狭义相对论会让其机载时钟相对于地面时钟每天慢约 7 微秒。若不加修正，GPS 的位置误差每天会累积到约 2 公里。 在更高速度下，效应会变得非常戏剧化。当速度达到光速的 86.6% 时，γ = 2，运动时钟的走时速率只有静止时钟的一半。到了 99% c，γ ≈ 7.1；到了 99.9% c，γ ≈ 22.4。这种膨胀在粒子物理中被直接观测到：宇宙射线在高层大气中产生的缪子，其静止系半衰期只有 2.2 微秒，按这个寿命最多只能飞行约 660 米就会衰变。可是在地球表面，缪子经常在飞行 15 公里后仍能被探测到，因为它们在地球参考系中被观测到的半衰期会按 γ ≈ 22 膨胀到约 48 微秒。 这个计算器让你能够探索从零到接近光速的完整速度范围中的时间膨胀，非常适合物理学生、航空航天工程师以及任何对时间与相对论感兴趣的人。

时间膨胀示例

这些示例展示了从卫星轨道到相对论粒子的不同速度下的时间膨胀。

场景膨胀后时间说明
GPS 卫星：v = 3 874 m/s，t₀ = 86 400 s（1 天）t′ ≈ 86 400.000 002 s（仅狭义相对论导致的 Δt ≈ 2 μs/天）GPS 卫星以约 3.87 km/s 的速度绕行。仅狭义相对论的时间膨胀会使卫星时钟每天慢约 7 μs。广义相对论效应（高度）又会增加 +45 μs/天，净增约 38 μs/天，因此 GPS 固件会提前校正。
10% 光速飞船：v = 29 979 246 m/s，t₀ = 3 600 st′ ≈ 3 618 s，γ ≈ 1.005在光速的 10% 时，洛伦兹因子只有 1.005，因此时间膨胀很小，但仍可测量——一小时大约多出 18 秒。
90% 光速飞船：v = 269 813 212 m/s，t₀ = 1 st′ ≈ 2.294 s，γ ≈ 2.294当速度达到光速的 90% 时，效应就变得非常明显——飞船内的 1 个固有秒，在静止观察者看来约为 2.29 秒。
99.5% 光速的缪子：v = 298 344 295 m/s，t₀ = 2.2 μst′ ≈ 22 μs，γ ≈ 10宇宙射线产生的缪子在高层大气中生成，因为其 2.2 μs 的半衰期在地球参考系中被膨胀到约 22 μs，足以飞行约 6.6 km 并到达海平面。

如何使用时间膨胀计算器

  1. 在速度字段中输入运动物体或参考系的速度，单位为米每秒。若要输入光速的某个比例，将该比例乘以 299 792 458。
  2. 输入固有时间 t₀——也就是随运动物体一起移动的时钟所测得的时间间隔——单位为秒。
  3. 光速 c 默认为 299 792 458 m/s（国际单位制的精确定义值）。你可以更改它来探索假设情景或使用不同单位。
  4. 点击计算即可查看洛伦兹因子 γ、速度占光速的比例（β = v/c）、膨胀后时间 t′ = γ × t₀ 以及时间差 t′ − t₀。
  5. 使用示例按钮可载入真实场景，包括 GPS 卫星、以 10% 光速飞行的飞船以及相对论粒子。

时间膨胀常见问题

什么是时间膨胀？
时间膨胀是爱因斯坦狭义相对论的一个结果。它指出，与静止观察者相比，运动中的时钟走得更慢。运动的时钟速度越快，它走得就越慢。这不是机械效应，而是时空的基本性质。从运动时钟自身的角度看，时间流逝是正常的；只有在两只时钟再次相遇并进行比较时，膨胀才会显现出来。
什么是洛伦兹因子，它如何起作用？
洛伦兹因子 γ = 1 / √(1 − v²/c²) 用来量化相对论效应的大小。在低速下，γ ≈ 1，相对论效应可以忽略。随着 v 接近 c，γ 会迅速增大，并在 v = c 时趋于无穷大，这也是有质量的物体无法达到光速的原因。膨胀后的时间为 t′ = γ × t₀，其中 t₀ 是固有时间（运动参考系中的时间），t′ 是坐标时间（静止参考系中的时间）。
时间膨胀有实验确认吗？
有——时间膨胀已被大量实验确认。1971 年的哈菲尔–基廷实验把原子钟搭载在飞机上飞行，并测得与相对论预测相符的时间差。宇宙射线在高层大气中产生的缪子之所以能到达海平面，是因为它们的寿命在地球参考系中被膨胀了——粒子加速器中的实验也已高精度验证这一点。GPS 卫星要保持厘米级精度，必须同时进行狭义和广义相对论修正。
固有时间和坐标时间有什么区别？
固有时间（t₀）是随运动物体一起移动的时钟所测得的时间，也就是运动观察者所经历的“自然”时间。坐标时间（t′）是静止观察者看到运动时钟时所测得的时间。狭义相对论告诉我们 t′ = γ × t₀，因此静止观察者总是测得比运动时钟更长的时间间隔。这种不对称性正是著名双生子佯谬的核心。
什么是双生子佯谬？
双生子佯谬描述了这样一个情景：一对双胞胎中，一人留在地球上，另一人以相对论速度旅行后返回。旅行的双胞胎会衰老得更少，因为他经历的固有时间更少。表面上的悖论——“但从旅行者角度看，是地球在运动，那地球上的双胞胎不应该更年轻吗？”——可以通过旅行者必须减速并掉头这一事实来解决，这打破了对称性。加速度使两个参考系之间产生差异，因此两人重逢时，旅行者总是更年轻的一方。
这个计算器包含引力时间膨胀吗？
不包含——这个计算器只使用洛伦兹因子计算狭义相对论（基于速度）的时间膨胀。由广义相对论描述的引力时间膨胀发生在大质量天体附近：越接近引力源，时钟走得越慢。对于 GPS 卫星，两种效应都存在：卫星运动很快（狭义相对论使其时钟每天慢约 7 μs），同时它们离地球更远（广义相对论使其时钟每天快约 45 μs），因此净增约 38 μs/天，必须加以修正。