波尔模型计算器：原子结构与电子性质
使用波尔原子模型，计算任意原子的电子能级、轨道半径、速度和波长。
输入原子序数、主量子数，以及可选的轨道量子数和磁量子数，即可查看电子性质。
波尔模型计算器：原子结构与电子性质
使用波尔原子模型，计算任意原子的电子能级、轨道半径、速度和波长。
关于波尔模型计算器
波尔模型由丹麦物理学家尼尔斯·波尔于 1913 年提出，是首个成功解释氢光谱的原子结构量子描述。尽管后来已被更严格的量子力学模型取代，波尔模型仍是重要的教学工具，并且对单电子绕核且原子序数为 Z 的类氢离子给出准确结果。
波尔模型的核心是两个假设。第一，电子只会在某些允许的圆形轨道中绕核运动，这些轨道称为定态，在其中电子不会辐射能量。第二，电子可以通过吸收或发射一个能量等于两个能级差的光子，在这些轨道之间跃迁。这两个思想把量子化能态的概念引入原子物理，并为现代量子力学奠定了基础。
类氢原子第 n 能级的能量为 E_n = −13.6 × Z² / n² eV，其中 Z 为原子序数，n 为主量子数（n = 1, 2, 3, …）。负号表示电子被束缚在原子核附近；越不负的能量意味着轨道越高、束缚越弱。氢原子基态（Z = 1, n = 1）的能量为 −13.6 eV，而第一激发态（n = 2）的能量为 −3.4 eV。
轨道半径按 r_n = a₀ × n² / Z 变化，其中 a₀ = 5.292 × 10⁻¹¹ m 是玻尔半径，即氢原子基态中电子与质子之间最可能的距离。随着 n² 增大，更高能级的半径会迅速增大，这意味着激发电子占据更大的轨道。每个轨道中的电子速度随 n 增大而减小，公式为 v_n = α × c × Z / n，其中 α ≈ 1/137 是精细结构常数，c 是光速。
除了能量和半径，波尔模型还可用于计算电子的德布罗意波长 λ = h / (m_e × v)、轨道周期 T = 2π r / v，以及允许的轨道量子数 (l) 和磁量子数 (m)。它们在更完整的量子力学图景中描述轨道的形状与取向。
本计算器实现了上述所有关系，适合学习原子物理、光谱学、量子化学等相关领域的学生使用。输入原子序数 Z（质子数）和主量子数 n，即可立即得到能量、半径、速度和波长结果。可选的轨道量子数 l 和磁量子数 m 还能进一步指定某一壳层内的量子态。
波尔模型示例
通过实际原子构型演示如何应用波尔模型。
| tool.bohr-model-calculator.examples.colInput | 结果 | 说明 |
|---|---|---|
| Z = 1, n = 1（氢基态） | E = −13.60 eV, r = 5.29 × 10⁻¹¹ m | 电子处于玻尔半径对应的最低能量轨道。这是氢最稳定的状态。 |
| Z = 1, n = 2（氢第一激发态） | E = −3.40 eV, r = 2.12 × 10⁻¹⁰ m | 电子从基态吸收了 10.2 eV。轨道半径是 n = 1 时的四倍。 |
| Z = 2, n = 1（类氢氦） | E = −54.40 eV, r = 2.65 × 10⁻¹¹ m | Z 加倍会使束缚能增至四倍，并使轨道半径减半，相比同一 n 的氢原子而言如此。 |
| Z = 1, n = 3（氢第二激发态） | E = −1.51 eV, r = 4.76 × 10⁻¹⁰ m | 第三层比第一层大九倍。n = 3 的跃迁会在红外区产生帕邢系。 |
如何使用波尔模型计算器
- 输入原子序数 (Z)——原子核中的质子数。氢输入 1，氦输入 2，以此类推。
- 输入主量子数 (n)——壳层编号。基态用 n = 1，第一激发态用 n = 2，依此类推。
- 可选输入轨道量子数 (l，取值 0 到 n−1) 和磁量子数 (m，取值 −l 到 +l)，以指定更细的子态。
- 点击计算，即可立即查看能级、轨道半径、电子速度、德布罗意波长和轨道周期。
- 点击重置可清空所有输入并开始新的计算。
波尔模型计算器常见问题
什么是原子的波尔模型？
波尔模型是尼尔斯·波尔于 1913 年提出的原子行星模型。它认为电子沿固定的圆形轨道（称为壳层）绕核运动，每个壳层具有离散能量，且电子只有在这些允许轨道之间跃迁时才会发射或吸收辐射。尽管后来在多电子原子中已被量子力学取代，但对类氢（单电子）离子仍然准确。
主量子数 n 表示什么？
主量子数 n（1、2、3、…）决定电子所在的壳层，并同时决定其能量和与原子核的平均距离。随着 n 增大，能量变得不那么负（束缚减弱），轨道半径按 n² 增长。在基态中，n = 1 对应最低能量和最小轨道。
为什么波尔模型中的能量是负的？
能量是相对于电离极限来定义的；在电离极限处，电子距离原子核无限远且没有动能。束缚电子的能量低于自由电子，因此束缚态能量为负。氢基态能量为 −13.6 eV，这意味着要使基态氢原子电离，必须提供 13.6 eV 的能量。
波尔模型对多电子原子准确吗？
波尔模型只对类氢离子——也就是只有一个电子的原子或离子——严格准确，例如 H、He⁺、Li²⁺ 等。对于多电子原子，电子—电子斥力和交换相互作用需要完整的量子力学处理。不过，波尔模型仍能给出有用的估算，并且是非常好的教学起点。
什么是玻尔半径？
玻尔半径（a₀ ≈ 5.292 × 10⁻¹¹ m，或 0.529 Å）是氢原子基态中电子与质子之间最可能的距离。它为原子尺度提供了天然长度标尺。任意壳层的轨道半径为 r_n = a₀ × n² / Z。
量子数 l 和 m 与波尔模型有什么关系？
在最初的波尔模型中只使用 n。轨道量子数 l（0 到 n−1）和磁量子数 m（−l 到 +l）来自 Sommerfeld 对波尔思想的扩展，后来又由完整波动力学进一步建立。它们描述轨道的形状与取向，反映磁场中的能量细分（塞曼效应），并可用于指定唯一的量子态。