韦布尔分布计算器 - PDF、CDF 与可靠性

韦布尔分布是一种连续概率分布，以瑞典工程师和数学家 Waloddi Weibull 命名。他于 1951 年将其用于材料强度和疲劳建模。如今，它已成为可靠性工程、寿命分析、风速建模和极值理论中最重要的分布之一，因为它的形状参数 k 让它能在单一而灵活的族中描述递增、恒定或递减的失效率——三种截然不同的物理行为。 该分布由两个参数定义。形状参数 k（有时写作 β）决定失效率随时间是增加、减少还是保持不变。当 k > 1 时，失效率随时间增加——这适用于机械部件常见的磨损失效，部件会随着使用而退化。当 k = 1 时，韦布尔分布会精确退化为失效率恒定的指数分布，适用于电子元件这类以稳定背景速率随机失效的情况。当 k < 1 时，失效率随时间降低——这适用于“婴儿死亡率”失效，缺陷产品会在早期失效，而存活下来的产品会更可靠。尺度参数 λ（有时写作 η）是特征寿命：在 x = λ 时，无论 k 取值如何，CDF 都等于 1 − e⁻¹ ≈ 63.2%。 概率密度函数（PDF）f(x) 给出在恰好时间 x 发生失效的相对可能性。累积分布函数（CDF）F(x) 给出到时间 x 为止已经失效的概率，这也称为失效概率。可靠度函数 R(x) = 1 − F(x) 给出超过时间 x 仍然存活的概率，这是保修和维护规划中的主要指标。失效率 h(x) = f(x) / R(x) 是在已经存活到该时刻的条件下，时间 x 的瞬时失效率；在工程中它也称为死亡力或风险函数。 韦布尔分布的均值为 λ · Γ(1 + 1/k)，其中 Γ 是伽马函数。中位数为 λ · (ln 2)^(1/k)。当 k > 1 时，众数（最可能的失效时间）为 λ · ((k−1)/k)^(1/k)；当 k ≤ 1 时为零。方差为 λ² · [Γ(1 + 2/k) − (Γ(1 + 1/k))²]。 韦布尔分析广泛用于车队维护排程、飞机部件认证、风能资源评估、地震重现期估计和癌症生存研究。本计算器使用 Lanczos 近似计算伽马函数，可在宽范围参数值上保持较高的数值精度，并在一步内完成所有标准韦布尔计算。