Rayleigh 分布计算器 - PDF、CDF 与统计量

Rayleigh 分布是一种用于非负随机变量的连续概率分布，最初由 Lord Rayleigh 在研究声波振幅时推导出来。它完全由一个参数 σ（尺度参数）定义；σ 既表示分布的众数——最可能的取值——也决定整个分布的离散程度。 概率密度函数（PDF）为 f(x; σ) = (x/σ²) · exp(−x²/(2σ²))，适用于 x ≥ 0。它的曲线从 x = 0 处的 0 开始上升，在 x = σ 处达到峰值，然后逐渐趋近于 0。累积分布函数（CDF）为 F(x; σ) = 1 − exp(−x²/(2σ²))，表示随机观测值落在 x 及以下的概率。互补 CDF（CCDF = 1 − CDF）则表示观测值严格大于 x 的概率——这通常也称为生存函数，在可靠性和通信工程中非常重要。 Rayleigh 分布是双参数 Weibull 分布在形状参数 k = 2 时的特例。它还与正态分布有深刻联系：如果两个相互独立的随机变量 X 和 Y 都服从均值为 0、方差为 σ² 的正态分布，那么向量模长 R = √(X² + Y²) 服从尺度参数为 σ 的 Rayleigh 分布。这个几何解释使它成为二维随机向量幅值的自然模型。 在无线通信中，Rayleigh 衰落模型描述了在存在大量散射体且没有主导视距路径的环境里，射电信号的传播方式。当发射信号在到达接收端之前经过建筑物、车辆和地形的反射时，接收信号的包络通常服从 Rayleigh 分布。工程师用这个模型来计算链路预算、确定中断概率并设计纠错编码。σ 参数通常由信号测量估计，并直接用于系统级仿真。 在海洋学和气象学中，这种分布可用于建模某一地点的显著波高和峰值风速。通过将 σ 拟合到历史数据，工程师和科学家可以估计极端事件的概率——例如，在 50 年一遇风暴期间，波高超过安全阈值的概率。类似应用还出现在海上平台设计、海岸洪水建模和风力涡轮机选址中。 在可靠性工程中，Rayleigh 分布可作为在多种独立应力因素累积损伤下部件寿命的分布。与指数分布不同，Rayleigh 的风险率会随时间线性增加（h(t) = t/σ²），这意味着较旧的部件失效率更高——这更符合金属疲劳和腐蚀等磨损机理。 关键统计量为：均值 = σ√(π/2) ≈ 1.2533σ；中位数 = σ√(2 ln 2) ≈ 1.1774σ；众数 = σ；方差 = (4 − π)/2 · σ² ≈ 0.4292σ²。均值始终大于众数，反映出分布右偏。方差随 σ 呈二次增长，因此 σ 加倍会使离散程度扩大四倍。