期望值计算器
计算离散概率分布的数学期望。
输入结果值及其概率，即可计算 E[X]、方差和标准差。
期望值计算器
计算离散概率分布的数学期望。
结果值概率
关于期望值计算器
期望值，也称为数学期望或概率分布的均值，是概率论和统计学中最重要的概念之一。它表示如果某个随机实验在相同条件下重复许多次，长期来看平均会得到的结果。对于离散随机变量 X，其结果为 x₁、x₂、…、xₙ，对应概率为 p₁、p₂、…、pₙ，期望值定义为 E[X] = Σ xᵢ pᵢ。
期望值不一定是随机变量真正能取到的值——它是所有可能结果的加权平均。例如，掷一个公平的六面骰子的期望值是 3.5，尽管骰子上并没有 3.5 这个点数。长期平均的这种解释由大数定律加以形式化：随着试验次数增加，样本均值会收敛到期望值。
本计算器还会计算方差 Var(X) = E[(X − E[X])²] = E[X²] − (E[X])²，用于衡量分布相对于均值的离散程度。标准差 σ = √Var(X) 是方差的平方根，并且与 X 具有相同的单位，因此更便于实际理解。
期望值在科学、经济、金融和工程等领域都有无数应用。在决策理论中，它构成了期望效用最大化的基础——理性的决策者会选择期望收益最高的行动。在保险业中，精算师使用期望值来定价保单：保费必须覆盖预期赔付以及运营成本和利润空间。在游戏设计中，期望值用于判断游戏是否公平。在投资组合理论中，投资组合的预期收益就是各资产预期收益的加权平均。
使用本计算器时，请确保所有概率都为非负数，并且总和在很小的误差范围内严格等于 1。如果概率之和不等于 1，分布就没有被正确定义，期望值计算也就没有意义。常见错误包括把百分比当作小数概率输入（例如输入 25 而不是 0.25），或者遗漏了所有可能结果。
示例
这些示例展示了期望值如何应用于不同的现实场景。
| 结果与概率 | E[X] | 说明 |
|---|---|---|
| 骰子：取值 1–6，每个结果的概率均为 1/6 ≈ 0.1667 | E[X] = 3.5 | 公平六面骰；经典教材示例 |
| 投资：+$1000（30%），+$500（40%），−$200（20%），−$500（10%） | E[X] = $410 | 尽管存在下行风险，期望收益仍为正 |
| 保险：$0 赔付（95%），$5,000（4%），$25,000（1%） | E[X] = $450 | 每份保单的年度平均赔付；用于保费定价 |
| 质量控制：$0 成本（85%），$50（10%），$150（4%），$500（1%） | E[X] = $15 | 制造业中每个单位的预期缺陷成本 |
如何使用此计算器
- 在“结果值”字段中输入每个可能结果——它可以是任何实数（正数、负数或零），表示收益或结果。
- 在“概率”字段中输入对应概率——必须是 0 到 1 之间的小数（例如，25% 输入 0.25）。
- 使用“添加结果”按钮继续添加结果行，直到列出所有可能结果。
- 在点击“计算期望值”之前，请确认所有概率之和为 1——如果不等，计算器会显示错误。
- 点击“计算期望值”即可查看 E[X]、方差、标准差以及概率总和。
常见问题
什么是期望值？
期望值 E[X] 是随机变量所有可能结果的概率加权平均值。它表示如果实验重复很多次，你会观察到的长期平均值。形式上，E[X] = Σ xᵢ × pᵢ，其中 xᵢ 是每个可能结果，pᵢ 是其概率。
概率必须精确相加为 1 吗？
是的，对于有效的概率分布，概率之和必须精确为 1（或在四舍五入容差内非常接近 1）。如果不是，分布就没有被正确指定，期望值也没有意义。此计算器会检查总和，如果与 1 的偏差超过 1%，就会显示错误。
期望值和平均数有什么区别？
这两个术语关系密切，但使用场景不同。“平均数”（或样本均值）指的是一组已观测数据的算术平均值。“期望值”指的是概率分布的理论均值——也就是你在长期中预期会观察到的均值。随着样本量增大，样本均值会收敛到期望值（大数定律）。
期望值可以为负吗？
可以，期望值可以是任何实数，包括负数。负期望值表示该过程平均而言是不利的——例如，大多数赌场游戏对玩家的期望值都是负的。正期望值表示该过程平均而言是有利的，这也是为什么所有合法的保险和投资产品都会为提供方设定正期望值。
方差能告诉我分布的什么信息？
方差 Var(X) = E[(X − E[X])²] 衡量的是与均值之间的平均平方偏差。高方差意味着结果分布很分散——分布有厚尾或极端值。低方差意味着结果更紧密地聚集在均值附近。标准差 σ = √Var(X) 常常更受欢迎，因为它与 X 具有相同的单位，便于直观理解。
期望值如何用于决策？
在决策理论中，期望值准则认为理性主体应选择期望收益最高的行动。这一原则是保险定价、投资分析、博弈论和临床试验设计的基础。然而，期望值本身并不能体现风险厌恶——即使后者的期望值更高，一个人也可能更喜欢确定获得 50 美元，而不是有 50% 的概率获得 120 美元。这就是为什么期望效用理论会扩展基本框架。