均匀分布计算器 - PDF、CDF 与均值
计算任意连续均匀分布的概率密度函数、累积分布函数、均值、方差和区间概率。
输入最小值 a 和最大值 b。也可以输入 CDF 的点 x，或输入区间概率的下界 x1 和上界 x2。
均匀分布计算器 - PDF、CDF 与均值
计算任意连续均匀分布的概率密度函数、累积分布函数、均值、方差和区间概率。
可选 — 输入 x 以计算 P(X ≤ x)。
可选 — 同时输入 x1 和 x2 以计算 P(x1 ≤ X ≤ x2)。
关于均匀分布
连续均匀分布有时也叫矩形分布，用来描述在区间 [a, b] 内每个取值出现的可能性都相同的情况。它是最简单的连续概率分布，也是理解“范围内所有结果都同样可能”这一概念的经典模型，例如公交车在预定时间窗内到达的准确时刻，或随机时刻停止的转盘最终落点。
均匀分布的概率密度函数（PDF）在整个区间内保持不变：当 a ≤ x ≤ b 时，f(x) = 1/(b − a)，其余位置为 0。由于 PDF 下方的总面积必须等于 1，而图形是一个平顶矩形，因此矩形高度就是宽度的倒数。这样一来，PDF 很容易理解：只要长度相同，区间在 [a, b] 中的位置如何并不影响它的概率。
累积分布函数（CDF）表示随机观测值落在某个特定 x 或更小值的概率。对于均匀分布，在 a ≤ x ≤ b 时，F(x) = (x − a)/(b − a)。它从 x = a 时的 0 线性增长到 x = b 时的 1，反映出随着 x 在区间内移动，概率被持续累积。若要计算值落在区间 [x1, x2] 内的概率，只需相减：P(x1 ≤ X ≤ x2) = (x2 − x1)/(b − a)，也就是子区间宽度除以总宽度。
均匀分布的均值（期望值）就是区间的中点：E[X] = (a + b)/2。直观上这很合理——如果所有值同样可能，平均值自然就在正中间。方差衡量的是与均值的平均平方偏差，等于 (b − a)² / 12。区间越宽，方差越大，说明结果位置的不确定性越高。
均匀分布常被用作模拟、蒙特卡罗方法和随机数生成的起点或基准。伪随机数生成器通常先产生区间 [0, 1] 上的均匀随机变量，再通过逆 CDF 方法转换成其他分布。在贝叶斯统计中，均匀先验表示在已知范围内对参数完全无知的状态。在可靠性工程和排程中，它可用于描述只知道范围、却不知道确切时刻的到达或失效时间。
理解均匀分布也有助于学习更复杂的连续分布。它的简单性非常适合在引入正态分布、指数分布或 Beta 分布之前，先学习 PDF、CDF、期望值和方差这些基础概念。
均匀分布示例
使用均匀分布公式对常见场景进行的计算示例。
| 参数 | 关键指标 | 应用场景 |
|---|---|---|
| a = 0, b = 1 | PDF = 1, Mean = 0.5, Variance = 0.0833 | 标准均匀分布 U(0,1)，是所有伪随机数生成器和逆 CDF 变换方法的基础。 |
| a = 2, b = 10 | PDF = 0.125, Mean = 6, Variance ≈ 5.333 | 公交车在 2 到 10 分钟之间均匀到达。平均等待时间为 6 分钟，方差为 (10−2)²/12 = 64/12 ≈ 5.333。 |
| a = 0, b = 60, x1 = 20, x2 = 40 | P(20 ≤ X ≤ 40) = 0.333 | 小时中的随机一分钟。落在第 20 分钟到第 40 分钟之间的概率为 (40−20)/60 = 1/3 ≈ 0.333。 |
如何使用均匀分布计算器
- 在第一个字段输入最小值 a，在第二个字段输入最大值 b。确保 b 严格大于 a。
- 点击“计算”，即可立即查看该分布的 PDF、均值、方差和标准差。
- 如需计算 CDF，可选地在 x 字段输入一个值，以计算 P(X ≤ x)，即随机变量不超过 x 的概率。
- 如需计算区间概率，可选地同时输入 x1 和 x2，以计算 P(x1 ≤ X ≤ x2)。
- 点击“重置”清空所有字段，开始新的计算。
均匀分布常见问题
均匀分布有什么用途？
均匀分布用于描述某个范围内每个结果都同样可能出现的情况。常见用途包括随机数生成、模拟研究、贝叶斯中的无信息先验，以及只知道取值范围时的排程或到达时间建模。
如何计算区间概率？
对于区间 [a, b] 上的均匀分布，值落在 [x1, x2] 内的概率就是 (x2 − x1) / (b − a)。这与子区间宽度相对于总范围的比例成正比，也正体现了平坦的 PDF。
均匀分布中的 PDF 和 CDF 有什么区别？
PDF 表示单点处的密度，在 [a, b] 内任一点都等于 1/(b−a)。CDF 表示累计到点 x 为止的概率，等于 (x−a)/(b−a)。对于连续分布，概率只对区间有意义，单个点的概率没有实际意义。
为什么方差是 (b−a)²/12？
方差是通过在 [a, b] 上积分 (x − 均值)² × f(x) 得到的，其中 f(x) = 1/(b−a)。计算可化简为 (b−a)²/12。区间越宽，方差会按宽度平方成比例增大，因为数值离均值更远。
均匀分布和结果同样可能一样吗？
对于连续随机变量来说，是的。均匀分布是公平骰子或随机抽取的连续对应形式——任意相同长度的子区间具有相同概率。不过在连续情形下，单个点的概率为零，只有区间概率才不为零。
标准均匀分布 U(0,1) 与其他分布有什么关系？
标准均匀分布 U(0,1) 是生成任意连续分布的基础。若 U 在 [0,1] 上服从均匀分布，F 是目标分布的 CDF，那么 F⁻¹(U) 就服从该目标分布。逆变换法正是大多数随机抽样算法的基础。