合并标准差计算器
计算两个独立样本的合并标准差
输入两组的样本量、均值和标准差，计算合并标准差、t 统计量和 Cohen's d。
合并标准差计算器
计算两个独立样本的合并标准差
样本 1
样本 2
关于合并标准差计算器
合并标准差是两个（或更多）独立样本标准差的加权平均值，用于比较具有相同总体方差的组。它是独立样本 t 检验以及许多其他推断统计方法的核心概念。
合并标准差的公式为：sp = √[((n₁−1)s₁² + (n₂−1)s₂²) / (n₁+n₂−2)]，其中 n₁ 和 n₂ 为样本量，s₁ 和 s₂ 为样本标准差。分母 n₁+n₂−2 表示两样本比较的总自由度。
合并标准差假定方差齐性——即两个样本来自方差相同的总体。使用合并估计前应检查这一假设（例如使用 Levene 检验或 Bartlett 检验）。当方差不相等时，应优先使用 Welch t 检验，因为它不合并方差。
除了合并标准差，本计算器还提供合并方差 (sp²)、总自由度、两样本 t 统计量和作为标准化效应量的 Cohen's d。Cohen's d = (mean₁ − mean₂) / sp，用合并标准差为单位量化均值差异的实际意义。
Cohen's d 的常用判断标准：约 0.2 被视为小效应，0.5 为中等效应，0.8 或以上为大效应。这些阈值可帮助心理学、医学、教育和社会科学中的结果解释。
合并标准差还用于计算两个均值差的置信区间、在元分析中合并不同研究的效应量，以及在质量控制中汇总不同生产批次的变异性估计。
实际应用包括临床试验（比较治疗组与对照组）、产品分析中的 A/B 测试（比较转化率）、教育研究（比较不同班级测试分数的变异性）以及工业质量控制（合并多条生产线的缺陷率估计）。
请记住：合并标准差同时利用两组信息，因此比任一单个样本标准差都能更精确地估计共同总体标准差。
示例
这些示例展示了在不同两样本场景下如何计算合并标准差。
| 输入 | 合并标准差 | 背景 |
|---|---|---|
| n₁=10, x̄₁=50, s₁=2; n₂=15, x̄₂=55, s₂=3 | sp ≈ 2.669 | 样本量不相等，均值不同 |
| n₁=20, x̄₁=30, s₁=4; n₂=20, x̄₂=35, s₂=4 | sp = 4.000 | 样本量和标准差相等，纯平均 |
| n₁=30, x̄₁=100, s₁=10; n₂=30, x̄₂=105, s₂=12 | sp ≈ 11.045 | 样本较大，标准差相近 |
| n₁=5, x̄₁=8, s₁=1.5; n₂=8, x̄₂=10, s₂=2 | sp ≈ 1.824 | 小样本，权重偏向较大的组 |
如何使用此计算器
- 输入第一组的样本量 (n₁)、均值 (x̄₁) 和标准差 (s₁)。
- 输入第二组的对应数值 (n₂, x̄₂, s₂)。样本量必须至少为 2。
- 点击“计算”，得到合并标准差、合并方差、自由度、t 统计量和 Cohen's d。
- 在等方差假设下，将合并标准差解释为共同总体标准差的最佳估计。
- 结合 t 统计量和自由度查 t 分布表以判断统计显著性，或查看 Cohen's d 评估效应量。
常见问题
什么是合并标准差？
合并标准差 (sp) 将两个独立样本的方差估计合并为一个更精确的估计值。它是两个样本方差按自由度加权的平均值，并假定两个总体具有相同的潜在方差。
什么时候应使用合并标准差？
当你假定两组之间满足方差齐性时，例如经典的两样本 t 检验，可使用合并标准差。如果预检验（Levene、Bartlett）表明方差差异显著，应改用不要求方差相等的 Welch t 检验。
Cohen's d 是什么，如何解读？
Cohen's d 是一种标准化效应量，用合并标准差为单位表示均值差异。约 0.2、0.5 和 0.8 通常分别称为小、中、大效应。较大的 Cohen's d 表明两组相对于合并变异性而言分离较明显。
为什么公式要除以 n₁+n₂−2？
分母 n₁+n₂−2 表示估计两个样本均值所消耗的总自由度。使用自由度（而不是 n₁+n₂）可以得到总体方差的无偏估计。每个样本向合并估计贡献 nᵢ−1 个自由度。
合并标准差可以用于两个以上的组吗？
可以——合并标准差可扩展到 k 个组，公式为 sp = √[Σ(nᵢ−1)sᵢ² / Σ(nᵢ−1)]。这种推广用于 ANOVA，其中单个组内合并标准差（均方误差的平方根）作为共同方差估计。
样本量如何影响合并标准差？
样本量越大，在合并估计中的权重越高。如果 n₁ >> n₂，合并标准差会主要受第一个样本方差影响。这体现了更多数据能提供更可靠方差估计的原则，也意味着当某个样本大得多时，离群值或等方差假设违背会产生更大影响。