残差计算器 - 线性回归残差

残差是观测值与统计模型预测值之间的差。在简单线性回归中，第 i 个观测的残差定义为 e_i = y_i − ŷ_i，其中 y_i 是实际观测值，ŷ_i 是最小二乘回归直线 ŷ = b₀ + b₁x 给出的预测值。 普通最小二乘法（OLS）会寻找使残差平方和最小的回归直线（SSE = Σe_i²）。本工具使用标准公式计算斜率（b₁）和截距（b₀）：b₁ = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)²，b₀ = ȳ − b₁x̄。 残差分析是回归诊断中的基础步骤。拟合模型后，应检查残差以验证关键假设：线性关系（将残差对 x 作图时不应出现系统性模式）、同方差性（残差方差应大致恒定）、独立性（残差不应自相关）以及正态性（残差应近似服从正态分布）。 残差图——即残差与预测值或自变量的散点图——是主要的诊断工具。若残差围绕 0 随机散布且没有明显模式，说明线性模型是合适的。U 形等系统性模式表明非线性，漏斗形表明异方差，而聚类则可能意味着存在高影响点或离群值。 判定系数 R² 衡量 y 的方差有多少由 x 解释。R² 的范围从 0（模型未解释任何方差）到 1（完全拟合）。其计算公式为 1 − SSE/SST，其中 SST = Σ(yᵢ − ȳ)²。 这款计算器非常适合学习回归的学生、进行快速数据质量检查的分析师，以及在进入更复杂建模前验证模型拟合的研究人员。结果会显示完整的回归方程、逐点残差表、SSE 总和以及 R² 值，便于立即解读。