余弦相似度计算器 - 向量相似性分析

余弦相似度是多维空间中比较两个非零向量相似性的最常用指标之一。与衡量两个点相距多远的欧几里得距离不同，余弦相似度只关注向量的朝向——具体来说，就是它们夹角的余弦值。因此，当大小不重要而方向更关键时，它尤其有用，例如比较不同长度的文档，或活动水平不同的用户偏好画像。 公式很简单：cos(θ) = (A · B) / (‖A‖ × ‖B‖)，其中 A · B 是两个向量的点积，‖A‖ 和 ‖B‖ 分别是它们的欧几里得模长（范数）。点积通过对应元素相乘再求和得到。向量的模长则是各分量平方和的平方根。 结果始终落在 [−1, 1] 范围内。余弦相似度为 1 表示两个向量指向完全相同的方向——它们完全一致。值为 0 表示它们互相垂直（正交）——方向上没有相关性。值为 −1 表示它们指向完全相反的方向。实际应用中，许多场景只考虑非负特征（如词频或评分次数），这时相似度会被限制在 [0, 1]。 在自然语言处理和信息检索中，余弦相似度是比较用 TF-IDF 或词袋向量表示的文本的标准方法。由于长文档天然具有更大的向量模长，直接比较原始点积会不公平地偏向它们。通过用模长乘积进行归一化，余弦相似度消除了长度偏差，只关注词项的比例构成。 推荐系统使用余弦相似度来匹配用户偏好向量。如果两个用户对相似项目的相对喜好模式相近——即使其中一位用户总共评分的项目更多——他们的余弦相似度也会很高，说明口味相近。同样的逻辑也适用于图像识别：神经网络提取的特征描述向量可用余弦相似度进行比较，从而找到视觉上相似的图像。 对于这个计算器，你可以输入任意长度的向量，只要两个向量的维度数量相同即可。数值可用逗号或空格分隔。计算器会显示余弦相似度、点积以及每个向量的模长，方便你逐步验证计算过程。