余弦定理计算器 - 求解任意三角形 (SAS/SSS)
使用余弦定理求解任意三角形。通过 SAS 求未知边，或通过 SSS 求未知角。
选择要计算未知边（SAS）还是未知角（SSS），输入已知值，即可立即得到结果。
余弦定理计算器 - 求解任意三角形 (SAS/SSS)
使用余弦定理求解任意三角形。通过 SAS 求未知边，或通过 SSS 求未知角。
余弦定理示例
四个典型场景，覆盖 SAS 和 SSS 配置，其中包括一个钝角三角形。
| 已知值 | 结果 | 构型 |
|---|---|---|
| a=5, b=7, C=45° (SAS) | c ≈ 4.950 | c² = 25 + 49 − 2(5)(7)cos(45°) = 74 − 49.497 ≈ 24.503，c ≈ 4.950。 |
| a=8, b=6, c=10 (SSS) | C = 90° | cos(C) = (64+36−100)/(2×48) = 0/96 = 0，因此 C = arccos(0) = 90°（直角三角形）。 |
| a=10, b=12, C=120° (SAS, obtuse) | c ≈ 19.08 | c² = 100+144−2(10)(12)cos(120°) = 244+120 = 364，c = √364 ≈ 19.08。 |
| a=9, b=9, c=6 (SSS, isosceles) | C ≈ 38.94° | cos(C) = (81+81−36)/(2×81) = 126/162 ≈ 0.7778，C = arccos(0.7778) ≈ 38.94°。 |
关于余弦定理计算器
余弦定理是三角学中的基本定理，它把勾股定理推广到了任意三角形，而不只是直角三角形。设三角形的三边 a、b、c 分别对着角 A、B、C，则公式为：c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C)。当角 C = 90° 时，cos(C) = 0，公式就退化为熟悉的勾股定理 c² = a² + b²。
余弦定理主要有两种用法。在边角边（SAS）情形下，你已知两条边和它们之间的夹角，并希望求第三边。在边边边（SSS）情形下，你已知三条边，并希望求其中一个角。将公式变形后，SSS 情形可写为：cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab)，再对该值取反余弦即可得到 C。
余弦定理与正弦定理密切相关，但它适用于正弦定理不能直接使用的情况。具体来说，正弦定理要求已知两角一边（AAS/ASA）或两边及其非夹角（SSA，这会出现歧义情况）。余弦定理则能干净地处理 SAS 和 SSS，在每种情况下都给出唯一解（前提是输入确实构成一个真实三角形）。
它在测量、导航、建筑、工程和物理中都有大量实际应用。测量人员会用余弦定理在无法直接测量时计算两点之间的距离。导航软件会使用相同公式的球面版本来计算两个 GPS 坐标之间的方位和距离。结构工程师用它计算与三角形几何有关的桁架杆件受力。计算机图形管线也会用余弦规则来计算网格边之间的夹角。
对于钝角三角形，某个角大于 90°，其余弦为负，因此 c² > a² + b²。余弦定理能够自然处理这种情况，因为公式同时兼容正余弦和负余弦。这是它相较于假设存在直角的简单方法的一大优势。
这个计算器同时支持 SAS 和 SSS 两种情况。对于 SAS，输入边 a、b 及其夹角 C，工具会计算边 c。对于 SSS，输入三边 a、b、c，工具会计算角 C。结果会连同所用公式一起显示，方便你手动核对计算过程。
如何使用余弦定理计算器
- 选择计算模式：如果你知道两条边及其夹角，请选“求边长（SAS）”；如果你知道三边，请选“求角度（SSS）”。
- 在 SAS 模式下，输入边 a 和 b 的长度，以及夹角 C（单位为度）。
- 在 SSS 模式下，输入三边 a、b、c 的长度。
- 点击“计算”。工具会应用余弦定理并显示未知边或角。
- 点击“重置”即可清空所有字段并解另一个三角形。
常见问题
什么是余弦定理？
余弦定理指出：对于任意三角形，若边为 a、b、c，且对应角为 A、B、C，则 c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C)。它把勾股定理扩展到了非直角三角形，其中余弦项用于修正偏离直角的程度。当 C = 90° 时，cos(C) = 0，便可还原为熟悉的勾股定理。
什么时候该用余弦定理，而不是正弦定理？
当你处于 SAS（两边及夹角）或 SSS（三边）构型时，应使用余弦定理。AAS 和 ASA 情况更适合用正弦定理。对于 SSA，正弦定理可以使用，但会出现歧义；余弦定理通过求解二次方程避免了这种歧义，不过其中一个解可能是多余的。
余弦定理能处理钝角三角形吗？
可以。对于钝角三角形，大于 90° 的那个角的余弦为负。公式 c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C) 依然成立；负余弦会让 c² 大于 a² + b²，正确反映出边 c 是钝角所对的最长边。
如何由三边求三角形的所有角？
用不同字母对应关系把余弦定理应用三次。先求 C = arccos((a²+b²−c²)/(2ab))，再求 B = arccos((a²+c²−b²)/(2ac))，最后求 A = 180° − B − C。或者，在已知两个角后，第三个角可由三角形内角和求出。
如果输入不能构成有效三角形会怎样？
对于 SSS，必须满足三角形不等式：每一边都必须小于另外两边之和。如果不满足，就不存在有效三角形，公式会得到 |cos(C)| > 1，而这没有实数反余弦值。这个计算器会检测这种情况并显示错误信息。
余弦定理和 cosine rule 是一回事吗？
是的，余弦定理和 cosine rule 指的是同一个定理。“cosine rule” 常见于英国教育体系，而“law of cosines” 更常见于美国教材。它们的公式和应用完全相同。