弦长计算器 - 求弦长、半径或圆心角

弦是圆几何中的基本线段之一。它连接圆周上任意两个不同的点，并把圆内部划分为两个区域。直径是经过圆心的特殊弦，也是任何圆中最长的弦。其他所有弦都严格短于直径，并且所对的圆心角都严格小于 180°。 弦长、半径和圆心角之间的关系可由公式 c = 2r × sin(θ/2) 表示，其中 c 为弦长，r 为半径，θ 为弧度制圆心角。该公式源自余弦定理。若从圆心向弦的两个端点作半径，就会得到一个等腰三角形，两边长为 r，夹角为 θ。应用余弦定理可得 c² = 2r²(1 − cos θ)。再利用半角恒等式 1 − cos θ = 2 sin²(θ/2)，即可化简为 c = 2r sin(θ/2)。 计算器支持与此公式对应的三种模式。在求弦长模式下，输入 r 和 θ，计算器直接求值 2r sin(θ/2)。在求半径模式下，输入 c 和 θ，计算器求值 r = c / (2 sin(θ/2))；当你已经实测出一条弦，并且知道对应弧跨度为特定角度时，这很有用。在求圆心角模式下，输入 r 和 c，计算器求值 θ = 2 arcsin(c / (2r))，得到其正弦等于 c/(2r) 的角度。 角度单位可在度和弧度之间自由切换。对大多数用户而言，度更直观，因此是默认单位，但工程和科学计算常用弧度，因为只有弧度制下弧长 = r × θ 才成立。计算器会在内部转换，因此你可以按源数据使用任一体系。 弦长计算在实际中应用广泛。在结构工程中，拱桥设计会使用跨距（弦长）、拱高和曲率半径之间的关系。在机械工程中，渐开线齿轮齿形依赖节圆上的弦长计算。测量人员会将弦长与弧长测量结合起来，在曲线阻碍视线测量时计算距离。在木工中，需要把一块弯曲木料切割成跨越特定距离、以特定角度成形的工匠，使用的正是这个公式。航海历史上曾使用弦表——现代三角函数表的前身——来计算球面上的距离。 此计算器可处理在物理约束内的任何有效输入组合：半径必须为正，弦长必须为正且不超过半径的两倍，角度必须为正且小于 360°（或 2π 弧度）。结果保留到小数点后八位，这对任何实际应用来说都绰绰有余。