散点图计算器 - 相关性与线性回归

散点图是一种数据可视化方式，它将两个数值变量显示为笛卡尔平面上的点。每个点代表一条观测值：其水平位置对应 X 值，垂直位置对应 Y 值。通过观察这些点的分布模式，你可以判断两个变量之间是否存在关系、关系有多强，以及它是线性还是非线性的。 这个散点图计算器会计算三类统计量。第一类是描述性统计：数据点数量 n、X 的平均值 (x̄) 和 Y 的平均值 (ȳ)。第二类是线性回归直线——即使每个点到直线的垂直距离平方和最小的那条直线。它由方程 y = mx + b 表示，其中 m 是斜率，b 是 y 轴截距。斜率 m 的计算公式为 Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / Σ[(xᵢ − x̄)²]，截距 b = ȳ − m·x̄。 第三类是相关统计。皮尔逊相关系数 r = Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / √[Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²]，用于衡量 X 和 Y 之间线性关系的强度和方向。它的范围是 −1 到 +1。接近 +1 表示强正相关（X 增加时 Y 也增加），接近 −1 表示强负相关，接近 0 则表示几乎没有线性关系。R²（决定系数）等于 r²，表示 Y 的方差中有多少比例可由 X 上的线性回归解释。例如，R² 为 0.90 表示 Y 的 90% 变异可由与 X 的线性关系解释。 常见用途包括经济学（价格与需求的关系）、生物学（研究身高与体重的关系）、教育（学习时间与考试成绩的相关性）、工程学（根据输入变量预测输出）以及商业分析（广告支出与销售收入的关系）。 解读结果时请记住，相关不等于因果。较高的 r 只说明两个变量在线性上一起变化，并不说明其中一个会导致另一个。线性回归还假设真实关系本身就是线性的。如果散点图呈现曲线趋势，无论你提供多少点，线性模型都不会是好拟合。务必查看残差或将数据与直线一起绘制，以验证模型。