RSA计算器 - 公钥加密与解密工具
生成RSA密钥对，加密和解密数字消息——用于学习公钥密码学和数论的交互式工具。
输入两个不同的素数（p和q）、一个公钥指数（e），以及可选的明文数字，即可使用RSA算法进行加密和解密。
RSA计算器 - 公钥加密与解密工具
生成RSA密钥对，加密和解密数字消息——用于学习公钥密码学和数论的交互式工具。
关于RSA计算器
RSA（Rivest–Shamir–Adleman）是全球部署最广泛的公钥密码系统。它支撑着HTTPS、电子邮件加密、数字签名和安全软件分发。理解RSA需要熟悉三个数论概念：素因数分解、模运算和欧拉函数——本计算器会把这些概念变成交互式、可直观看到的过程。
RSA密钥生成过程从选择两个不同的大素数p和q开始。出于教学目的，本工具使用小素数，但真实的RSA实现会使用数千位数字的素数。模数n按n = p × q计算。接着计算欧拉函数φ(n) = (p − 1)(q − 1)。公钥指数e必须满足1 < e < φ(n)且gcd(e, φ(n)) = 1——最常见的选择是3、17和65,537（费马素数），其中65,537几乎用于所有生产系统。私钥指数d是e关于模φ(n)的乘法逆元，可用扩展欧几里得算法求得：d ≡ e⁻¹ (mod φ(n))。
加密使用公钥(e, n)：密文C = Mᵉ mod n，其中M是明文整数。解密使用私钥(d, n)：明文M = Cᵈ mod n。RSA的安全性建立在将一个很大的n分解为其素因子p和q在实践上不可行这一事实之上——目前没有已知的经典多项式时间算法可以解决该问题。
这个RSA计算器面向学习而非生产安全。它使用JavaScript BigInt进行精确整数运算，因此对浏览器能够处理的任何素数输入，结果在数学上都是正确的。不过，真实世界的安全系统需要至少2,048位的素数、合适的填充方案（OAEP）以及密码学安全的随机数生成器——这些都不是本教学工具提供的功能。
本计算器的常见用途包括：计算机科学课程中的密码学与数论学习；验证RSA密钥生成的手算过程；探索e的微小变化或p、q选择如何影响私钥d；以及建立直觉，理解为什么分解n是RSA安全性的核心难题。
使用计算器时，为p和q输入任意两个不同的素数，选择一个与φ(n)互素的公钥指数e，可选输入一个小于n的数字消息，然后点击生成。工具会立即显示n、φ(n)、d以及加密和解密后的值，帮助你验证解密是否恢复原始消息。
RSA计算器示例
三个使用小素数进行密钥生成和消息加密的完整示例。
| 输入（p, q, e, M） | 关键结果 | 说明 |
|---|---|---|
| p=61, q=53, e=17, M=65 | n=3233, φ=3120, d=2753, C=2790, M′=65 | 经典教材示例。n=3233，φ(n)=3120。d=17⁻¹ mod 3120 = 2753。加密65：65¹⁷ mod 3233 = 2790。解密：2790²⁷⁵³ mod 3233 = 65 ✓ |
| p=7, q=11, e=13, M=5 | n=77, φ=60, d=37, C=26, M′=5 | 适合手算验证的小素数。φ(77)=60，gcd(13,60)=1 ✓。d=13⁻¹ mod 60=37。加密5：5¹³ mod 77=26。解密26³⁷ mod 77=5 ✓ |
| p=17, q=19, e=5, M=88 | n=323, φ=288, d=173, C=200, M′=88 | 中等示例。φ(323)=288，gcd(5,288)=1 ✓。d=5⁻¹ mod 288=173。加密88：88⁵ mod 323=200。解密200¹⁷³ mod 323=88 ✓ |
如何使用RSA计算器
- 在“素数 p”和“素数 q”字段中输入两个不同的素数。可以先用61和53这类常见小素数来验证经典示例。
- 输入一个公钥指数e，它必须大于1、小于φ(n) = (p−1)(q−1)，并且与φ(n)互素。常见选择是3、17或65537。
- 可选地在消息字段中输入一个小于n（p × q）的数字明文消息M。
- 点击“生成密钥并加密”。计算器会显示模数n、欧拉函数φ(n)、私钥d，以及——如果你输入了消息——密文C和解密后的M′。
- 确认解密值M′与你的原始消息M一致，以验证RSA往返过程正确工作。
RSA计算器常见问题
RSA中的p、q、n、e和d是什么？
p和q是你选择的两个不同素数。n = p × q是公开模数。e是公钥指数，会公开共享。d是私钥指数，需要保密。(e, n)这一对是公钥；(d, n)是私钥。任何人都可以用(e, n)加密消息，但只有持有d的人才能解密。
为什么e必须与φ(n)互素？
私钥d是e关于模φ(n)的模逆元。只有当gcd(e, φ(n)) = 1，即二者没有公因子时，模逆元才存在。如果e与φ(n)共享某个因子，就不存在有效的d，RSA密钥生成会失败。
为什么消息M必须小于n？
RSA加密是Mᵉ mod n。如果M ≥ n，模约简会丢失信息——两个不同的消息可能产生相同的密文，使解密变得含糊。在实践中，真实的RSA实现会使用OAEP对消息进行填充，以确保始终满足这一约束。
这个RSA计算器可以安全地用于真实场景吗？
不可以。本工具仅用于教学。生产级RSA需要至少2,048位（约617个十进制数字）的素数、密码学安全的随机素数生成，以及OAEP等填充方案。小素数可以被轻易分解，绝不能用于保护真实数据。
欧拉函数φ(n)是什么？
欧拉函数φ(n)计算从1到n中有多少整数与n互素。对于n = p × q且p、q为不同素数的情况，φ(n) = (p − 1)(q − 1)。这个值在RSA中至关重要，因为它定义了密钥关系d ≡ e⁻¹ (mod φ(n))成立的群。
RSA解密如何证明私钥有效？
根据欧拉定理，对于任何与n互素的M，都有M^φ(n) ≡ 1 (mod n)。由于e × d ≡ 1 (mod φ(n))，因此(Mᵉ)ᵈ = M^(ed) = M^(1 + k·φ(n)) = M × (M^φ(n))^k ≡ M × 1^k = M (mod n)。所以只要M < n，解密总能恢复原始消息。