帕斯卡三角形计算器：生成二项式系数

帕斯卡三角形是数学中最著名的结构之一。它是一个三角形数阵，其中每个数都等于前一行正上方两个数之和。三角形以顶端的一个 1（第 0 行）开始，之后每一行都通过相邻两数相加构造而成。第 1 行是 [1, 1]；第 2 行是 [1, 2, 1]；第 3 行是 [1, 3, 3, 1]；第 4 行是 [1, 4, 6, 4, 1]，依此类推。 三角形中的每一项都是二项式系数，记作 C(n, k) 或“n 选 k”，定义为 n! / (k! × (n−k)!)。第 n 行第 k 个位置（从 0 开始计数）的数等于 C(n, k)——即从 n 个元素中选出 k 个而不考虑顺序的方法数。这种与组合学的联系，使帕斯卡三角形成为组合计数的紧凑查表工具，也是概率论中的基础工具。 在代数中，二项式定理指出 (a + b)ⁿ = Σ C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ（k 从 0 到 n）。这个展开式的系数正是帕斯卡三角形第 n 行中的各项。展开 (x + 1)⁵ 会得到系数 1、5、10、10、5、1——正好是第 5 行。这使帕斯卡三角形成为多项式展开和计算二项分布概率时不可或缺的捷径。 这个三角形还隐藏着大量惊人的规律。浅对角线相加会得到斐波那契数列。各行还能给出 11 的幂：第 0 行是 1，第 1 行是 11，第 2 行是 121，第 3 行是 1331，第 4 行是 14641。球杆曲棍球棒恒等式说明，一条对角线上的数之和等于该对角线末端下方一格的数。把奇数和偶数项分别着色，会得到称为谢尔宾斯基三角形的分形图案。 除了纯数学之外，帕斯卡三角形还出现在概率论（二项分布和负二项分布）、组合学（格点路径、子集、可重复组合）、数论（素数行中非边缘项都可被行号整除）、计算机科学（组合的动态规划算法）以及金融数学（二项式期权定价模型）中。这个计算器可让你立即生成最多 20 行，突出显示任意指定行，并在三角形和线性显示之间切换，从而按你需要的细节层级研究其结构。