零空间计算器 - 求矩阵核与基向量
使用高斯-约当消元，求任意不超过 4×4 的矩阵零空间（核），计算基向量、秩和零度。
选择矩阵维度，填写各项数值，然后点击计算即可得到零空间的全部基向量和矩阵的秩。
零空间计算器 - 求矩阵核与基向量
使用高斯-约当消元，求任意不超过 4×4 的矩阵零空间（核），计算基向量、秩和零度。
关于零空间计算器
矩阵 A 的零空间（也称为 A 的核）是所有满足齐次方程 Ax = 0 的向量 x 的集合。从几何上看，它是线性变换 A 将其映射为零向量的所有向量所组成的集合。零空间始终是定义域中的一个子空间，其维数称为矩阵的零度。
秩-零度定理是线性代数的核心结果之一：对于一个 m × n 矩阵 A，rank(A) + nullity(A) = n。这意味着秩和零度相加总是等于列数。满列秩矩阵（rank = n）只有平凡零空间，即只包含零向量。若秩小于 n，则零空间具有正维数 n − rank，并且满足 Ax = 0 的向量有无限多个。
为了计算零空间，本计算器使用高斯-约当消元把 A 化为简化行阶梯形（RREF）。在 RREF 中，每个非零行都有一个主元 1（pivot），且该列其余元素都为 0。包含主元的列对应基本变量，其余列对应自由变量。对每个自由变量，可以令它为 1、其余自由变量为 0，然后回代求出基本变量的值。得到的向量就是零空间的一个基向量。
零空间在应用数学和工程中有许多重要用途。在线性方程组中，零空间说明解的非唯一性：如果 Ax = b 有一个解 x₀，那么通解就是 x₀ 加上零空间中的任意向量。在控制理论中，可控性矩阵的零空间可揭示不可控模态。在信号处理里，测量矩阵的零空间可以识别传感器阵列“看不见”的信号。在化学中，化学计量矩阵的零空间给出反应网络中的所有守恒定律。
为保证数值稳定性，本计算器在高斯消元过程中使用部分主元选取，并将绝对值小于 1e-10 的数视为 0。这使算法对课堂和工程中常见的整数或有理数矩阵都足够稳健。你可以输入任意数字——整数、小数，或以小数表示的分数——计算器会立即返回秩、零度以及完整的零空间基向量集合。
零空间示例
四个示例涵盖不同的矩阵形状和零空间维数。
| 矩阵 | 零空间基 | 说明 |
|---|---|---|
| 2×3: [[1,2,3],[4,5,6]] | v1 = [1, −2, 1] | 秩 2，零度 1。一个自由变量产生一个基向量。验证：1·1 + 2·(−2) + 3·1 = 0，且 4·1 + 5·(−2) + 6·1 = 0。 |
| 3×3 Identity [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]] | 平凡（只有零向量） | 满秩矩阵：rank = 3，nullity = 0。Ix = 0 的唯一解是 x = 0。 |
| 3×3 rank-deficient: [[1,2,3],[2,4,6],[1,1,2]] | v1 = [−1, −1, 1] | 秩 2，零度 1。第 1 行和第 2 行线性相关（第 2 行 = 2×第 1 行）。RREF 得到主元列 0 和 1，自由列 2；回代得到 v = [−1, −1, 1]。 |
| 2×2 zero matrix [[0,0],[0,0]] | v1 = [1,0], v2 = [0,1] | 秩 0，零度 2。任意向量都满足 Ax = 0，因此整个 R² 都是零空间，其标准基即为零空间基。 |
如何使用零空间计算器
- 使用尺寸按钮选择矩阵维度（行 × 列）。可选范围从 2×2 到 4×4，也包括 2×3、3×4 这样的非方阵。
- 在网格中输入矩阵元素。每个单元格都可输入任意实数，包括小数和负数。留空会触发错误。
- 点击计算零空间。结果会显示秩、零度以及零空间的所有基向量。
- 使用载入示例按钮可预填经典例子：一个零空间为一维的 2×3 矩阵，或一个秩亏的 3×3 矩阵。
- 点击重置可在保留当前矩阵大小的同时清空所有单元格；也可以切换尺寸选择器，以不同维度重新开始。
零空间计算器常见问题
什么是矩阵的零空间？
矩阵 A 的零空间是所有满足 Ax 等于零向量的向量 x 的集合。它表示输入空间中被线性变换 A 压缩到零的所有方向。零空间始终是一个子空间（它包含零向量，并且对加法与数乘封闭）。它的维数称为零度，用来衡量 A 在变换过程中丢失了多少信息。
高斯-约当消元如何求零空间？
该算法通过行变换把 A 转换为简化行阶梯形（RREF）。在 RREF 中，很容易识别主元列和自由列。对每个自由变量（非主元列），令该变量为 1、其余变量为 0，然后回代求解主元变量，就能得到一个零空间基向量。所有这类向量的张成就是整个零空间。
如果零空间是平凡的，意味着什么？
平凡零空间只包含零向量。这通常发生在矩阵具有满列秩时——每一列都是主元列，并且没有自由变量。对于方程 Ax = 0，唯一解是 x = 0。若方阵的零空间平凡，则它可逆；若非方阵的零空间平凡，则对任意 b，方程 Ax = b 至多只有一个解。
什么是秩-零度定理？
秩-零度定理指出：对于 m × n 矩阵 A，rank(A) + nullity(A) = n，其中 n 是列数。秩是列空间的维数（线性无关列的数量），零度是零空间的维数。二者互补：秩越大，零度越小，反之亦然。这个定理是理解线性映射和方程组的基础。
非方阵也有零空间吗？
有。只要矩阵的列数大于秩，就一定存在非平凡零空间。对于列数多于行数的宽矩阵（m < n），秩最多只能是 m，因此零度 ≥ n − m > 0，必然存在非平凡零空间。行数多于列数的高矩阵，只要列线性无关，也可能具有平凡零空间。
为什么基向量可能出现小数？
当矩阵含有非整数元素，或者回代过程中产生分数时，零空间基向量就会出现小数分量。这在数学上完全正确——零空间是定义在实数域上的，不只是整数。任何基向量都可以乘以非零常数得到同样有效的基向量，所以如果你更喜欢整数形式，可以把向量乘以分母的最小公倍数。