和差三角恒等式计算器
使用角度相加与相减公式计算精确三角函数值。
选择三角函数和运算，输入两个角度，即可得到精确结果并查看所用公式。
和差三角恒等式计算器
使用角度相加与相减公式计算精确三角函数值。
关于和差三角恒等式
和差恒等式，也称为角加法与角减法公式，是一组三角方程，可用两个单独角的三角函数来表示两角之和或之差的三角函数。它们可以把 75° 或 15° 这样的角拆分为你已经知道三角函数值的角（如 30°、45° 和 60°），从而无需计算器就能精确求出 sin、cos 或 tan。
六个核心公式是：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)；sin(A − B) = sin(A)cos(B) − cos(A)sin(B)；cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B)；cos(A − B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)；tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 − tan(A)tan(B))；以及 tan(A − B) = (tan(A) − tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))。这些恒等式是精确的，不含近似；它们可通过单位圆或几何论证证明。
本计算器接受角度制和弧度制输入。使用角度时，输入 30、45 或 90 这样的值。使用弧度时，可输入十进制近似值（如 π/6 的 0.5236）或精确的小数值。单位选择很重要，因为同一个数字在表示角度或弧度时，三角函数会计算出不同的值。
在物理学中，这些恒等式对于分析波的叠加不可或缺。当两个频率相同但相位不同的波合成时，所得波的振幅可直接由和差公式确定。在电气工程中，交流电路中电压与电流之间的相位关系也由同样的数学规律支配。计算机图形学使用它们在二维和三维空间中旋转点和向量；旋转矩阵完全由旋转角的余弦和正弦构成。
在数学中，和差恒等式是推导许多其他三角关系的入口：倍角公式、半角公式以及积化和差公式都可直接由这六个恒等式推出。掌握它们可为微积分、傅里叶分析、信号处理以及任何依赖周期函数的领域打下基础。
和差三角恒等式示例
通过真实示例展示如何将恒等式应用于常见角。
| 输入 | 结果 | 说明 |
|---|---|---|
| sin(45° + 30°) | sin(75°) ≈ 0.9659 | sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4。 |
| cos(60° − 45°) | cos(15°) ≈ 0.9659 | cos(60°)cos(45°) + sin(60°)sin(45°) = (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2) = (√2+√6)/4。 |
| 弧度制下的 tan(π/6 + π/4) | tan(5π/12) ≈ 3.7321 | (tan(π/6)+tan(π/4))/(1−tan(π/6)tan(π/4)) = (1/√3+1)/(1−1/√3)，化简即可。 |
| sin(120° − (−30°)) | sin(150°) = 0.5 | 负角 B：sin(150°) = sin(90°+60°) = 0.5。展示对负角的正确处理。 |
如何使用和差三角恒等式计算器
- 从第一个下拉菜单选择三角函数（正弦、余弦或正切）。
- 从第二个下拉菜单选择运算：和 (A + B) 或差 (A − B)。
- 在相应字段中输入角 A 和角 B。
- 选择与输入匹配的角度单位（角度或弧度）。
- 点击“计算”，查看数值结果以及所应用的具体恒等式公式。
和差三角恒等式常见问题
和差恒等式有什么用途？
它们可用于计算由标准角（如 30°、45°、60°）组合而成的角的精确三角函数值，并且是许多其他三角恒等式的基础。在应用领域中，它们用于物理学的波分析、工程中的交流电路相位计算，以及计算机图形学中的旋转。
什么时候应使用角度，什么时候应使用弧度？
日常几何、导航问题以及使用角度表或量角器时，使用角度。微积分、物理和工程中通常使用弧度，因为公式中的自然角度单位是弧度。计算器会使用你选择的单位；请确保角 A 和角 B 使用同一单位。
这些公式中，正切与正弦、余弦有什么不同？
正切的和差公式包含分母 (1 ∓ tan(A)tan(B))，分母可能为零，从而使这些角度组合下的正切未定义。计算器会检测这种情况并显示错误。正弦和余弦的和差公式没有这种限制，适用于所有实数角。
如何用这些恒等式求 sin(75°)？
写成 75° = 45° + 30°，然后应用 sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)。代入可得：sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4 ≈ 0.9659。在计算器中输入 Function=sin、Operation=Sum、A=45、B=30 即可验证。
这些恒等式可以用于负角吗？
可以。恒等式对所有实数角都成立，无论正负。例如，当 B 为负数时，sin(A − B) 等同于 sin(A + |B|)。计算器接受角度字段中的负值，并会正确应用公式。
结果是精确值还是近似值？
数值结果是浮点近似值，约保留 15 位有效数字。公式本身是精确的数学恒等式，例如 sin(75°) = (√6+√2)/4 是精确值；但计算器会显示便于实际使用的十进制等价值。