行最简形计算器
使用高斯约旦消元法将 2 行 3 列矩阵化为行最简形，快速读取二元线性方程组的解。
行最简形矩阵求解器
从左到右输入 2 行 3 列矩阵的六个数值。
关于行最简形
行最简形通常缩写为 RREF，是矩阵的一种标准形式，使其关键信息易于读取。矩阵达到行最简形时，每个非零行的首个非零元素为 1；每个首项 1 是其所在列唯一的非零元素；各行的首个非零元素位置从上到下依次右移；全零行均位于底部。这些条件保证每个矩阵只有一个唯一的行最简形，即使可以通过不同的行变换顺序得到它。
本计算器对两行三列矩阵进行高斯约旦消元。这种形状特别适合表示含两个未知数、两条线性方程的增广矩阵：前两列存放系数，最后一列存放常数。算法寻找非零主元，必要时交换行，再用主元除该行，使主元变为一，然后消去主元列中的其他所有元素。它从左到右重复此过程，直到无法再形成新主元。
初等行变换不会改变增广矩阵所表示的解集。可以交换两行，将一行乘以任意非零常数，或将一行的倍数加到另一行。例如，行分别为 [1, 2, 5] 和 [3, 4, 11] 的矩阵可化为 [1, 0, 1] 和 [0, 1, 2]。将结果解释为方程，可直接得到 x 等于 1、y 等于 2。
行最简形也能揭示没有唯一解的方程组。零行可能表示方程间存在相关性；当至少有一个自由变量且方程组相容时，会有无穷多解。若某行的系数全为零而增广值非零，则表示矛盾，因此无解。除了求解方程，行最简形还可用于确定矩阵秩、识别主元列与自由列、检验线性无关性，以及求向量空间的基。显示数值仅为便于阅读而取舍，消元过程使用 JavaScript 浮点数的完整精度。
行最简形示例
这些矩阵展示唯一解、相关方程及已化简的方程组。
| 输入矩阵 | 行最简形 | 含义 |
|---|---|---|
| [1, 2, 5]; [3, 4, 11] | [1, 0, 1]; [0, 1, 2] | 唯一解为 x = 1，y = 2。 |
| [1, 2, 3]; [2, 4, 6] | [1, 2, 3]; [0, 0, 0] | 第二条方程与第一条相关，留下一个自由变量。 |
| [1, 0, 4]; [0, 1, -2] | [1, 0, 4]; [0, 1, -2] | 矩阵已是行最简形，可得 x = 4，y = -2。 |
如何计算行最简形
- 根据行列标签，在对应位置输入各矩阵元素。
- 表示两条线性方程时，将常数放在第三列。
- 点击“计算行最简形”，执行高斯约旦消元。
- 从化简矩阵中读取主元、零行及解的数值。
行最简形计算器常见问题
行阶梯形与行最简形有什么区别？
行阶梯形要求每个主元下方为零，行最简形还要求每个主元上方也为零。因此行最简形更便于直接读取解，而且对给定矩阵是唯一的。
行最简形能求解联立方程吗？
可以。将系数和常数输入为增广矩阵。若每个变量列都有主元，便有唯一解，可从最后一列读取。
全零行是什么意思？
零行表示某条原方程没有提供独立信息。若某个变量列没有主元，且方程组相容，则至少有一个自由变量，并有无穷多解。
计算器如何处理小数？
消元使用双精度浮点数。接近零的结果会归零，显示时最多保留八位小数，以便阅读。
允许哪些行变换？
可以交换行，将一行乘以非零数，或把一行的倍数加到另一行。每种变换都保持所表示线性方程组的解集不变。