复数根计算器 - 用德莫弗定理求 n 次根

每个非零复数都恰好有 n 个不同的 n 次根，这个计算器利用复数的极形式和德莫弗定理一次性找出全部结果。给定复数 z = a + bi，它的模长为 r = √(a² + b²)，辐角为 θ = atan2(b, a)。写成极形式时，z = r(cosθ + i·sinθ)，而 n 个 n 次根为 z_k = r^(1/n) · (cos((θ + 2πk)/n) + i·sin((θ + 2πk)/n))，其中 k = 0, 1, …, n − 1。 从几何上看，这些根位于复平面上以原点为中心、半径为 r^(1/n) 的圆上，并且彼此相隔 2π/n 弧度。k = 0 的根称为主根，它最接近正实轴（其辐角为 θ/n）。绕原点旋转 2π/n 会把一个根映射到下一个根，这也是为什么单位根在单位圆上构成一个正 n 边形。 复数根不只是代数上的趣味。在电气工程中，单位根描述三相电力系统中的相量，并支撑数字信号处理里的离散傅里叶变换。在控制理论中，根在复平面上的位置决定线性系统的稳定性。在量子力学中，复振幅及其根会出现在波函数和周期势的分析里。即使在纯数论中，n 次单位根也会生成圆分域，这是现代代数的核心对象。 一个常见误解是复数只有一个根，或者 −1 的平方根只有 i。事实上，−1 有两个平方根——i 和 −i——而 1 对每个正整数 n 都有 n 个不同的 n 次根。计算器会将它们全部显示为 a_k + b_k·i 的形式，并四舍五入到固定的小数位，这样你就能看到共轭对称等数值规律。对于偶次根的实数输入，结果会成对出现为共轭复数；对于 n 为奇数且输入位于负实轴上的情况，恰好有一个根本身是实数且为负。 当你需要解 z^n = w、在复数域上分解多项式、研究单位根，或检查复变函数与工程数学课程中的作业题时，都可以使用这个复数根计算器。