二项式系数计算器

二项式系数 C(n, k)，也写作“n 选 k”或符号 ⁿCₖ，表示在不考虑选择顺序时，从 n 个不同项目中恰好选出 k 个项目的方式数。它是组合数学中最基本的数量之一，也广泛出现在概率论、代数、统计学和计算机科学中。 二项式系数的公式是 C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)，其中感叹号表示阶乘函数：n! = n × (n−1) × (n−2) × ⋯ × 2 × 1，并约定 0! = 1。例如 C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10，表示从 5 个项目中选 2 个共有 10 种方式。 二项式系数就是帕斯卡三角形中的各项。在帕斯卡三角形中，每个数等于其正上方两个数之和。从 0 开始计数时，第 n 行第 k 列的项正是 C(n, k)。这来自帕斯卡恒等式：C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k)，含义是某个项目要么被选中（问题变为从 n−1 个中选 k−1 个），要么不被选中（问题变为从 n−1 个中选 k 个）。 “二项式系数”一名来自二项式定理：(x + y)ⁿ = Σ C(n, k) × xᵏ × y^(n−k)，其中 k 从 0 到 n。展开式中每一项 xᵏ y^(n−k) 前的系数正是 C(n, k)。例如 (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³，系数 1、3、3、1 分别是 C(3,0)、C(3,1)、C(3,2)、C(3,3)。 在概率中，二项式系数出现在二项分布里，用于描述 n 次相互独立、成功概率为 p 的伯努利试验中的成功次数。恰好成功 k 次的概率为 C(n, k) × p^k × (1−p)^(n−k)。扑克手牌、彩票、委员会选择，或固定 1 的个数的二进制字符串等计数问题，都可直接化为二项式系数计算。 当 n 和 k 很大时，直接计算阶乘会导致整数溢出。高效算法会使用乘法公式 C(n, k) = ∏ (n − i) / (i + 1)（i 从 0 到 k−1）迭代计算，从而让中间值更小。本计算器使用精确整数运算，为所有实际输入返回精确结果。