二次不等式绘图计算器
分析并绘制形如 ax² + bx + c op 0 的二次不等式，给出根、顶点、解集和区间表示。
输入系数 a、b、c，并选择不等号符号，即可分析抛物线并确定解集。
二次不等式绘图计算器
分析并绘制形如 ax² + bx + c op 0 的二次不等式，给出根、顶点、解集和区间表示。
关于二次不等式计算器
二次不等式是指涉及二次表达式（即二次多项式）并与一个数进行 <、≤、> 或 ≥ 比较的不等式。最常见的形式是 ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0，其中 a ≠ 0。与二次方程不同，二次方程要求找出使表达式等于 0 的特定 x 值，而二次不等式则要求找出使表达式为正、为负、非正或非负的所有 x 值。答案通常是实数轴上的一个区间或多个区间的并集。
解二次不等式的关键在于理解抛物线 y = ax² + bx + c。a 的符号决定抛物线是向上开口（a > 0）还是向下开口（a < 0）。x 轴截距——也就是对应方程 ax² + bx + c = 0 的根——是抛物线穿过或接触 x 轴的位置。判别式 Δ = b² − 4ac 可以告诉你有多少个实根：若 Δ > 0，有两个不同实根；若 Δ = 0，恰好有一个实根（重根）；若 Δ < 0，则没有实根。
当 Δ > 0 且 a > 0 时，若要求解 ax² + bx + c > 0：抛物线向上开口，并在两个根之间落到 x 轴下方，所以表达式在根的外侧为正——也就是 x < r₁ 或 x > r₂。若在相同条件下求 < 0，解集就是两个根之间的区间：r₁ < x < r₂。当 a < 0 时，抛物线向下开口，这些情况正好相反。
当 Δ = 0 时，只有一个接触点。若 a > 0，则表达式对所有 x 都满足 ≥ 0（在重根处等于 0），而对任何 x 都不满足 < 0。若 Δ < 0 且 a > 0，抛物线从不与 x 轴相交，并始终位于其上方，因此 ax² + bx + c > 0 对所有实数 x 都成立，而 < 0 没有解。
二次不等式常见于抛体运动（物体何时高于某一高度？）、优化（在什么输入下成本高于收入？）、信号处理（频带）以及工程公差分析。判别式公式 b² − 4ac 和二次公式 x = (−b ± √Δ) / (2a) 是分析中的两个核心工具。
这个计算器接受系数 a、b、c 以及不等号符号，然后计算判别式、找出所有实根、确定顶点，并用自然语言和区间表示法给出完整解集。它还会报告抛物线的开口方向，帮助你直观理解图形。
二次不等式示例
四个案例涵盖向上和向下开口的抛物线、两个不同的根以及一个重根。
| 不等式 | 解集 | 说明 |
|---|---|---|
| x² − 4x + 3 > 0 (a=1, b=−4, c=3) | （−∞，1）∪（3，∞） | 抛物线向上开口，根为 x=1 和 x=3。表达式在根的外侧为正。 |
| −x² + 2x + 3 ≤ 0 (a=−1, b=2, c=3) | （−∞，−1] ∪ [3，∞） | 抛物线向下开口，根为 x=−1 和 x=3。表达式在根的外侧为非正。 |
| 2x² + 3x + 4 < 0 (a=2, b=3, c=4) | 无解 | 判别式 Δ = 9 − 32 = −23 < 0 且 a > 0，因此表达式始终为正。 |
| x² − 6x + 9 ≥ 0 (a=1, b=−6, c=9) | 所有实数 | 在 x=3 处有重根（完全平方）。表达式仅在 x=3 时为 0，其余地方都为正。 |
如何使用二次不等式计算器
- 输入系数 a（x² 项）、b（x 项）和 c（常数项）。系数 a 不能为 0。
- 从下拉菜单中选择不等号：>、≥、< 或 ≤。
- 点击“绘制不等式”。计算器会计算判别式、求出根（如有）、定位顶点，并确定完整解集。
- 在结果面板中查看区间表示法的解集。并集符号 ∪ 表示解集由两个互不相交的区间组成。
- 使用“重置”清空所有字段并开始新题。
二次不等式计算器常见问题
什么是二次不等式？
二次不等式是 ax² + bx + c > 0、ax² + bx + c < 0、≥ 或 ≤ 这类形式的不等式，其中 a ≠ 0。与方程中求出使表达式等于 0 的特定 x 不同，不等式要求找出所有满足条件的 x，通常是一段范围或多个范围的并集。
首项系数 a 的符号如何影响解集？
当 a > 0 时，抛物线向上开口，所以表达式在两个根之间为负，在外侧为正。当 a < 0 时，抛物线向下开口，所以表达式在两个根之间为正，在外侧为负。改变 a 的符号，本质上会翻转解集。
当判别式为负时会怎样？
如果 Δ = b² − 4ac < 0，抛物线不会与 x 轴相交。当 a > 0 时，表达式始终为正，因此 ax²+bx+c > 0 对所有实数 x 都成立（解集 = ℝ），而 ax²+bx+c < 0 无解。当 a < 0 时则相反。
什么是重根，它对解集有什么影响？
当 Δ = 0 时，就会出现重根，这表示抛物线只在一个点与 x 轴相切。若 a > 0，则表达式对所有 x 都满足 ≥ 0（对于 ≥，解集是所有实数），而表达式不会严格小于 0（对于 <，无解）。若 a > 0 且是 ≤ 不等式并且重根为 r，则解集只包含单点 x = r。
结果中的区间表示法该怎么读？
圆括号 ( ) 表示严格边界（不包含端点，用于 > 或 <），方括号 [ ] 表示包含边界（用于 ≥ 或 ≤）。符号 ∪ 表示“并集”——解集是两个区间中任意一个内所有数的集合。
解集会是所有实数吗？
会的。若 a > 0 且 Δ < 0，则 ax² + bx + c 对所有实数 x 都大于 0，因此 ax²+bx+c > 0（或 ≥ 0）的解集是 ℝ。同样地，若 a < 0 且 Δ < 0，则 ax²+bx+c 对所有实数 x 都小于 0。