点积计算器

点积也称数量积或内积，是向量数学中最基础的运算之一。给定两个向量 a 和 b，它们的点积是对应分量乘积的总和。对于 2D 向量 a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂)，公式为 a·b = a₁b₁ + a₂b₂。对于 3D 向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，公式扩展为 a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。与叉积不同，结果是一个实数，也就是标量，因此点积也称为数量积。 点积的几何意义同样重要：a·b = |a| × |b| × cos(θ)，其中 |a| 和 |b| 分别是两个向量的模长，θ 是它们之间的夹角。只要两个向量都不是零向量，就可以用 θ = arccos(a·b / (|a| × |b|)) 计算任意两个向量之间的夹角。此点积计算器使用该公式，在显示数值点积的同时给出以度为单位的夹角。 点积的符号和大小包含有用信息。当点积为零时，两个向量垂直（正交），表示它们指向形成 90° 角的方向。点积为正表示两个向量之间为锐角（小于 90°），点积为负表示为钝角（大于 90°）。当两个向量平行且方向相同时，它们的点积等于二者模长的乘积。 点积的应用横跨多个领域。在物理中，功可表示为 W = F·d，即力向量与位移向量的点积。在计算机图形学中，点积用于光照计算（朗伯余弦定律），判断表面应被照亮的程度。在机器学习中，点积是计算特征向量相似度的基础，也是神经网络运算的核心。在信号处理中，两个信号的相关性可通过在时间窗口内计算点积得到。 点积计算器还会计算两个输入向量的模长。向量的模长（欧几里得范数）是分量平方和的平方根：2D 情况下 |a| = √(a₁² + a₂²)，3D 情况下 |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)。单位向量的模长为 1，两个单位向量的点积直接等于它们夹角的余弦。如果需要将向量归一化（转换为单位向量），可将每个分量除以该向量的模长。 理解点积对于学习线性代数、多元微积分、物理或计算机科学的人都很重要。此计算器可立即给出数值结果和向量关系分类，适合用于作业、备考、物理题求解和工程应用。