等差数列求和计算器
使用首项、公差和项数，快速求任意等差数列的和。
输入首项、公差和项数，即可立即计算等差数列的总和。
等差数列求和计算器
使用首项、公差和项数，快速求任意等差数列的和。
关于等差数列求和计算器
等差数列（也叫算术数列或算术级数）是这样一类数列：从第二项开始，每一项都在前一项基础上加上一个固定常数，这个常数叫作公差。如果首项是 a，公差是 d，那么这个数列依次为：a、a+d、a+2d、a+3d，直到第 n 项。
等差数列的通项公式（第 n 项）为：an = a + (n − 1)d。它可以让你不用计算前面的所有项，就直接求出任意一项。例如，在数列 2、5、8、11、14 中（首项 2，公差 3），第 10 项就是 2 + (10 − 1) × 3 = 29。
前 n 项的和记作 Sn，公式为：Sn = n/2 × [2a + (n − 1)d]。这个优雅的公式也可以写成 Sn = n/2 ×（首项 + 末项），当已知末项时尤其方便。高斯小时候就曾用它快速计算 1 到 100 的整数和：n=100，a=1，d=1，因此 S100 = 100/2 × (1 + 100) = 5050。
等差数列的变化率是恒定的，所以把它们画在图上时，会形成一条直线——这也是“线性数列”这个名称的由来。与之相对的是等比数列，它的项之间保持固定比值，图形会呈指数曲线增长。
在现实世界中，等差数列可以描述很多实际情况。每年固定加薪一定金额的薪资就是等差数列。物体在恒定加速度下，每一秒内所走过的距离也符合等差规律。剧院座位按排数逐排增加，每一排比前一排多一个座位，也会形成等差数列。年金计算、单利计算和线性折旧都依赖这个计算器使用的同一套等差数列公式。
等差数列求和示例
展示等差数列求和公式的常见示例。
| 输入 (a, d, n) | 和 (Sn) | 说明 |
|---|---|---|
| a=1, d=1, n=100 | 5050 | 1 到 100 的整数和。Sn = 100/2 × (1+100) = 50 × 101 = 5050。经典的高斯问题。 |
| a=2, d=3, n=5 | 40 | 数列：2、5、8、11、14。Sn = 5/2 × [2×2 + (5−1)×3] = 2.5 × 16 = 40。 |
| a=10, d=−3, n=4 | 22 | 递减数列：10、7、4、1。Sn = 4/2 × [20 + 3×(−3)] = 2 × 11 = 22。 |
| a=5, d=0, n=6 | 30 | 常数数列：d=0 表示所有项都等于 5。和 = 6 × 5 = 30。 |
如何使用等差数列求和计算器
- 输入首项 (a) —— 数列中第一个数的值。
- 输入公差 (d) —— 每一项固定增加的数值。若是递减数列，请输入负数。
- 输入项数 (n) —— 你想要求和的项数。必须是正整数。
- 点击“计算求和”。计算器会显示 Sn、末项 an 以及所用公式。
- 点击“重置”清空所有字段，开始新的计算。
等差数列求和常见问题
等差数列求和的公式是什么？
公式是 Sn = n/2 × [2a + (n − 1)d]，其中 n 是项数，a 是首项，d 是公差。也可以写成 Sn = n/2 ×（首项 + 末项）。两种形式结果相同，根据手头信息选择更方便的即可。
公差可以是负数或 0 吗？
可以。公差为负数表示数列递减，也就是每一项都比前一项小。例如 10、7、4、1 的 d = −3。公差为 0 则表示所有项都相同，和等于 n × a。
等差数列和等比数列有什么区别？
等差数列中，相邻两项的差是一个固定值（公差 d）；等比数列中，相邻两项的比是一个固定值（公比 r）。等差数列按线性增长，等比数列按指数增长。本计算器专门用于等差（线性）数列。
已知首项、末项和公差时，如何求项数？
使用公式 n = (末项 − 首项) / d + 1。例如数列 3、7、11、15、19 中，末项是 19，首项是 3，d 是 4：n = (19 − 3) / 4 + 1 = 5。知道 n 之后，就可以把 a、d 和 n 输入计算器求和。
为什么求和公式里有 n/2？
n/2 这个因子来自首尾配对，而每一对的和都相同。把数列正着写一遍、倒着写一遍并逐项相加时，每一对都等于（首项 + 末项）。两份数列一共分成 n 对，因此要乘以 n/2。
这个计算器可以用于单利计算吗？
可以。贷款或投资的单利会生成一个余额等差数列。如果本金为 P，每期获得的利息为 I，并且想计算 n 期后的总额，可设 a = P + I，d = I，n 为期数。求和结果就是每期末余额的总和。