多项式乘法计算器 - 代数工具
输入系数的逗号分隔列表，即可相乘任意两个多项式，立刻得到完全展开的乘积多项式。
多项式乘法计算器
请输入从常数项开始、以逗号分隔的系数。例如，'1, 2, 3' 表示 1 + 2x + 3x²。
请输入从常数项开始的逗号分隔系数：例如 '1, 2, 3' 表示 1 + 2x + 3x²
请输入从常数项开始的逗号分隔系数：例如 '1, 2, 3' 表示 1 + 2x + 3x²
关于多项式乘法计算器
多项式是由一个或多个项组成的代数表达式，每一项都由一个系数与变量的非负整数次幂相乘构成。例如，3x² + 2x + 1 是一个二次多项式，系数分别为 3、2 和 1。两个多项式相乘是代数、微积分以及许多应用领域中的基础运算。
多项式相乘的标准方法，是将第一个多项式的每一项分配到第二个多项式的每一项上，然后合并同类项。如果第一个多项式有 m 项、第二个有 n 项，那么乘法会产生 m×n 个中间乘积。将相同 x 次幂的项合并后，结果多项式的次数等于两个输入次数之和。
本计算器使用系数列表表示法：你按幂次从低到高输入系数，从常数项开始。输入 '1, 2, 3' 表示 1 + 2x + 3x²，其中系数 1 对应 x⁰，2 对应 x¹，3 对应 x²。随后运算使用离散卷积算法完成，即每个输出系数等于所有索引之和等于该输出索引的输入系数乘积之和。
二项式的 FOIL 方法是多项式乘法的一种特殊情况，此时每个多项式恰好有两个项（m = n = 2），会产生四个中间乘积。对于三项式或更高次数的多项式，同样适用分配律，只是项数更多。例如，(1 + x + x²) 与 (1 + x) 相乘会得到一个三次多项式：1 + 2x + 2x² + x³。
多项式乘法的实际应用非常广泛。在信号处理中，系数表示滤波器抽头或信号样本的多项式相乘，等同于卷积，也是数字滤波的核心运算。在计算机代数系统中，多项式乘法用于展开符号表达式、计算机辅助设计和符号微分。在组合数学中，生成函数是用来计数组合对象的多项式，相乘则表示对象的组合。掌握这个计算器及其底层算法，有助于进一步学习代数、离散数学和数值计算。
多项式乘法示例
每个示例都展示系数输入、还原后的多项式及其乘积。
| 输入系数 | 乘积 | 说明 |
|---|---|---|
| P₁: 1, 2 | P₂: 3, 4 | 3 + 10x + 8x² | (1+2x)(3+4x)：展开 1 和 2x |
| P₁: 1, 0, 1 | P₂: 1, 1 | 1 + x + x² + x³ | (1+x²)(1+x)：二次 × 一次 |
| P₁: 1, 1 | P₂: 1, −1 | 1 − x² | 平方差公式 |
| P₁: 1, 2, 1 | P₂: 1, 1 | 1 + 3x + 3x² + x³ | 三项式乘二项式 |
如何使用计算器
- 在“第一个多项式”中输入第一个多项式的系数，用逗号分隔，并从常数项开始（例如 '2, 3' 表示 2 + 3x）。
- 以相同格式在“第二个多项式”中输入第二个多项式的系数。
- 点击“计算乘积”查看展开后的乘积多项式。
- 以标准多项式记法阅读结果——系数按从常数项到最高次幂的顺序排列。
- 点击“重置”清空两个输入框并开始新的乘法。
常见问题
系数应该按什么顺序输入？
请按幂次从低到高输入系数，从常数项（0 次幂）开始。对于多项式 3 + 2x + x²，请输入 '3, 2, 1'。如果多项式以零常数项开头，例如 x² + 4x，请输入 '0, 4, 1'。
乘积多项式的次数是多少？
乘积的次数总是两个输入多项式次数之和。如果一个二次多项式与一个三次多项式相乘，乘积是五次多项式。因此，乘积系数列表共有 degree-of-P1 + degree-of-P2 + 1 项。
多项式乘法与 FOIL 有什么关系？
FOIL 是多项式乘法的特殊情况，即两个多项式都是二项式（一次、两个项）。FOIL 会产生四个乘积；一般多项式乘法会产生 m×n 个乘积，并将同样的分配律推广到更多项。
可以输入带负系数的多项式吗？
可以。请用负号输入负系数，例如 '1, -3, 2' 表示 1 − 3x + 2x²。数字之间用逗号或空格分隔即可，计算器可以正确处理负号。
卷积算法是做什么的？
多项式乘法在数学上与离散卷积完全等价。乘积中位置 k 的每个系数，等于所有满足 i + j = k 的系数对 (c₁[i], c₂[j]) 的和。这也是数字信号处理中用于组合滤波响应的同一运算。