八边形计算器：面积、周长、内切圆半径等
输入任意正八边形的边长，即可立即计算面积、周长、内切圆半径、外接圆半径和对角线，并显示完整公式。
输入正八边形的边长并点击计算，即可一步得到所有关键尺寸。
八边形计算器：面积、周长、内切圆半径等
输入任意正八边形的边长，即可立即计算面积、周长、内切圆半径、外接圆半径和对角线，并显示完整公式。
关于八边形计算器
正八边形是一个八条边长度相等、八个内角也完全相等的多边形。正八边形的每个内角都恰好是 135°，全部内角和为 (8−2)×180° = 1080°。八边形还是少数可以与正方形一起铺满平面的正多边形之一，这一点在伊斯兰几何艺术和历史上的地砖设计中都被广泛运用。
只要知道一条边长 a，就可以用包含 √2 的精确代数公式推出正八边形的其他所有尺寸。面积为 2(1+√2)a²；当 a = 1 时，面积约为 4.8284 平方单位。周长就是 8a。内切圆半径（也叫内接圆半径）是从中心到任一边中点的距离，等于 a(1+√2)/2。外接圆半径是从中心到任一顶点的距离，等于 (a/2)√(4+2√2)。
八边形有三类不同长度的对角线。短对角线连接两个中间隔 1 个顶点的顶点（跨越两条边），长度为 a√(2+√2) ≈ 1.848a。中对角线连接中间隔 2 个顶点的顶点（跨越三条边），长度为 a(1+√2) ≈ 2.414a。长对角线（直径）连接相对的顶点，长度为 a√(4+2√2) ≈ 2.613a，且恰好等于 2R（外接圆半径的两倍）。本计算器会同时给出这三类对角线。
八边形广泛出现在建筑、工程和日常物品中。停车标志就是正八边形，因为它轮廓鲜明，即使在远处或部分遮挡时也能被轻易识别。佛罗伦萨洗礼堂、圣瓦西里大教堂的穹顶基座，以及蒙特堡城堡的庭院，都是著名的八边形建筑。在工程中，八边形截面兼顾了结构效率和制造便利：它比六边形更接近圆形，同时仍然容易测量和切割。
在瓷砖和铺装设计中，八边形加正方形的拼铺图案要求瓷砖面积比为 1:(1+√2)²。在木工和金工中，车床工和机械加工师常把八边形毛坯作为把圆柱件加工成圆形前的中间步骤。了解正八边形边长与外接圆半径之间的关系，对于布置八角凉亭地基、切割八边形镜框或设计八边形柱基都很重要。
本计算器采用 IEEE-754 双精度浮点运算完成全部计算，可为任意正边长提供精确到 10 位有效数字的结果。面积、周长、内切圆半径、外接圆半径、短对角线、中对角线和长对角线这七个输出值，都由同一个边长输入直接计算得出。
八边形示例
来自正八边形常见应用的四个示例。
| 边长 (a) | 面积 | 场景 |
|---|---|---|
| a = 10 | 面积 ≈ 482.843 | 边长为 10 的标准八边形。周长 = 80，内切圆半径 ≈ 12.071，外接圆半径 ≈ 13.066。可用于计算凉亭地面面积。 |
| a = 2.5 | 面积 ≈ 30.178 | 较小的八边形，例如用于标志设计。周长 = 20，内切圆半径 ≈ 3.018。 |
| a = 120 | 面积 ≈ 69,529 | 边长 120 cm 的大型建筑八边形（可视作凉亭底座）。周长 = 960 cm，外接圆半径 ≈ 156.8 cm。 |
| a = 7.75 | 面积 ≈ 289.77 | 分数边长，用来验证精度。说明计算器可以正确处理非整数输入。 |
如何使用八边形计算器
- 在“边长 (a)”字段中输入正八边形的边长。单位可以是 cm、米、英寸、英尺等，结果会使用相同单位（面积则为该单位的平方）。
- 点击“计算”。结果面板会同时显示面积、周长、内切圆半径、外接圆半径、短对角线和长对角线。
- 点击“重置”即可清空输入，重新开始新的边长计算。
- 使用示例表下方的示例按钮，可立即把常见边长 10、2.5 或 120 载入计算器。
- 如果你想根据已知面积反求边长，可使用下方公式：a = √(面积 / (2(1+√2)))。
八边形计算器常见问题
正八边形的面积公式是什么？
边长为 a 的正八边形面积公式是 A = 2(1+√2)a²。若 a = 10，则有 2(1+1.41421)×100 = 2×2.41421×100 ≈ 482.84 平方单位。这个公式可通过把八边形分成中间的一个矩形、四个边上的矩形，以及四个角上的等腰直角三角形，再把它们的面积相加得到。
八边形的内切圆半径是什么？
内切圆半径是从八边形中心到任一边中点的垂直距离。对于边长 a，它等于 a(1+√2)/2。内切圆半径也是能完全放入八边形内的最大圆的半径。它可用于任意正多边形的另一种面积公式：A = 内切圆半径 × 周长 / 2。
正八边形的外接圆半径是什么？
外接圆半径是从中心到 8 个顶点中任意一个顶点的距离。对于边长 a，它等于 (a/2)√(4+2√2)。外接圆半径是包围八边形的最小圆的半径，它一定大于内切圆半径；对于八边形，外接圆半径/内切圆半径 = √(4+2√2) / (1+√2) ≈ 1.0824。
正八边形有多少条对角线？
正八边形共有 8(8−3)/2 = 20 条对角线。它们分为三类长度：8 条短对角线，长度为 a√(2+√2) ≈ 1.848a（连接相隔 2 个顶点的顶点）；8 条中对角线，长度为 a(1+√2) ≈ 2.414a（连接相隔 3 个顶点的顶点）；以及 4 条长对角线（直径），长度为 a√(4+2√2) ≈ 2.613a，连接相对顶点。本计算器会给出这三种对角线。
为什么停车标志是八边形？
停车标志采用正八边形，是因为这种形状非常醒目——它是最常见道路标志中唯一的八边形——同时又足够对称，便于从任何方向辨认。维也纳道路标志公约规定了这种八边形样式，使其几乎成为全球通用标准。即使标志被积雪或车辆部分遮挡，独特的红色八边形也仍然很容易识别。
能否根据面积或周长而不是边长来计算八边形？
可以，只要把公式反过来即可。如果你知道周长 P，则边长 = P/8。如果你知道面积 A，则边长 = √(A / (2(1+√2)))。如果你知道内切圆半径 r，则边长 = 2r/(1+√2)。得到边长后，把它输入这个计算器，就能立即得到其他所有尺寸。