Calculadora de frações parciais
Quebre qualquer expressão racional própria em uma soma de frações parciais mais simples — insira os polinômios do numerador e do denominador e obtenha a decomposição completa instantaneamente.
Digite os polinômios usando a notação padrão (por exemplo, x^2 + 3x + 2). O grau do numerador deve ser menor que o grau do denominador.
Calculadora de frações parciais
Quebre qualquer expressão racional própria em uma soma de frações parciais mais simples — insira os polinômios do numerador e do denominador e obtenha a decomposição completa instantaneamente.
Sobre a calculadora de frações parciais
A decomposição em frações parciais é uma técnica algébrica que reescreve uma expressão racional — uma fração cujo numerador e denominador são polinômios — como uma soma de frações mais simples. O método é o inverso de colocar frações no mesmo denominador: em vez de somar frações, você separa uma fração complicada. O resultado é um conjunto de termos cujas integrais, transformadas inversas de Laplace ou outras operações ficam muito mais fáceis de calcular.
O teorema fundamental da álgebra garante que qualquer polinômio sobre os números reais pode ser escrito como produto de fatores lineares (x − r) para raízes reais r e fatores quadráticos irredutíveis (x² + px + q) para pares complexos conjugados. A decomposição em frações parciais funciona fatorando o denominador e depois escrevendo a fração original como uma soma em que cada termo tem um desses fatores no denominador. Para um fator linear distinto (x − r), o termo correspondente é A/(x − r) para alguma constante A. Para um fator linear repetido (x − r)ⁿ, você precisa de n termos: A₁/(x − r) + A₂/(x − r)² + … + Aₙ/(x − r)ⁿ. Para um fator quadrático irredutível (x² + px + q), o termo é (Ax + B)/(x² + px + q).
As constantes são determinadas pelo método dos coeficientes a determinar: multiplique ambos os lados da equação de decomposição pelo denominador e, em seguida, substitua valores convenientes de x (como as raízes) ou compare coeficientes de potências iguais de x para montar um sistema de equações. Resolver esse sistema fornece os valores exatos de todas as constantes.
Frações parciais são indispensáveis no cálculo integral. A integral de 1/(x − r) é ln|x − r| e a integral de 1/(x − r)² é −1/(x − r), ambas calculáveis com fórmulas elementares. Sem decomposição, integrar algo como (5x − 4)/(x² − x − 2) exigiria reconhecer uma substituição pouco óbvia; com decomposição, a mesma expressão vira 2/(x − 2) + 3/(x + 1), e cada parte é integrada diretamente.
Além do cálculo, as frações parciais aparecem em engenharia de controle ao fazer transformadas inversas de Laplace para obter respostas no domínio do tempo de sistemas descritos por funções de transferência; em processamento de sinais para analisar representações pela transformada z de filtros digitais; e em álgebra para simplificar expressões racionais complexas antes de outras manipulações. Entender como montar e resolver o sistema de equações para as constantes desconhecidas é a habilidade central, e esta calculadora mostra cada etapa para você acompanhar o raciocínio e construir essa intuição.
Exemplos de decomposição em frações parciais
Exemplos resolvidos mostrando fatores lineares distintos, denominadores cúbicos e numeradores constantes.
| Expressão racional | Decomposição | Observação principal |
|---|---|---|
| (5x − 4) / (x² − x − 2) | 2/(x − 2) + 3/(x + 1) | O denominador fatora como (x − 2)(x + 1). Dois fatores lineares distintos; o método de cobertura fornece A = 2, B = 3. |
| (x² + 12x + 12) / (x³ − 4x) | −3/x + 2/(x − 2) + 2/(x + 2) | Denominador = x(x − 2)(x + 2). Substitua x = 0, 2, −2 para encontrar as constantes. |
| 1 / (x² + x) | 1/x − 1/(x + 1) | Denominador = x(x + 1). Numerador constante; A = 1, B = −1 por substituição. |
| (8x² − 3x + 10) / (x³ − 2x² + 4x − 8) | 3/(x − 2) + (5x + 2)/(x² + 4) | Denominador = (x − 2)(x² + 4). Fator linear + fator quadrático irredutível. |
Como usar a calculadora de frações parciais
- Digite o polinômio do numerador no campo Numerador P(x) usando notação padrão, por exemplo 5x - 4 ou x^2 + 3.
- Digite o polinômio do denominador no campo Denominador Q(x), por exemplo x^2 - x - 2.
- Verifique se o grau do numerador é estritamente menor que o do denominador; se não for, faça primeiro a divisão polinomial.
- Clique em Calcular. A calculadora fatora o denominador e usa o método de cobertura de Heaviside para encontrar todas as constantes.
- Clique em Redefinir para limpar ambos os campos e começar uma nova decomposição.
Perguntas frequentes sobre frações parciais
O que é decomposição em frações parciais?
A decomposição em frações parciais reescreve uma expressão racional P(x)/Q(x) como uma soma de frações mais simples cujos denominadores são fatores de Q(x). É o inverso de somar frações com denominador comum e torna a expressão muito mais fácil de integrar ou inverter.
Quando posso usar frações parciais?
Você pode usá-las quando a expressão é uma função racional própria — isto é, quando o grau do numerador é estritamente menor que o do denominador. Se a expressão for imprópria (grau do numerador ≥ grau do denominador), primeiro faça a divisão para obter um polinômio mais um resto próprio e decompõe apenas o resto.
Como encontro as constantes A, B, C?
Multiplique ambos os lados pelo denominador fatorado para eliminar as frações e então resolva as constantes. O método mais rápido é substituir as raízes de cada fator linear em x (cada raiz zera todos os termos, exceto um). Para fatores quadráticos irredutíveis, expanda e compare coeficientes de potências iguais de x.
E se o denominador tiver fatores repetidos?
Um fator linear repetido (x − r)ⁿ exige n termos separados: A₁/(x − r) + A₂/(x − r)² + … + Aₙ/(x − r)ⁿ. Cada potência introduz uma constante desconhecida independente que normalmente é resolvida expandindo e comparando coeficientes.
Por que fatores quadráticos irredutíveis recebem numerador linear (Ax + B)?
Um fator quadrático irredutível x² + px + q não pode ser fatorado em fatores lineares reais. O termo em frações parciais para ele precisa ter numerador um grau menor que o denominador, resultando na forma (Ax + B)/(x² + px + q) com duas constantes desconhecidas, A e B.
Qual é a principal aplicação das frações parciais?
A aplicação mais comum é a integração em cálculo: frações simples como A/(x − r) integram para A·ln|x − r|, tornando integrais difíceis tratáveis. Frações parciais também são importantes em engenharia para calcular transformadas inversas de Laplace de funções de transferência e transformadas z inversas de filtros digitais.